三角形的「五心」
三角形是最重要的基本平面圖形，很多較複雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.
如圖3.2-1 ，在三角形△abc中，有三條邊，三個頂點，在三角形中，角平分線、中線、高（如圖3.2-2）是三角形中的三種重要線段.
三角形的三條中線相交於一點，這個交點稱為三角形的重心.三角形的重心在三角形的內部，恰好是每條中線的三等分點.
例1 求證三角形的三條中線交於一點，且被該交點分成的兩段長度之比為2：1.
已知 d、e、f分別為△abc三邊bc、ca、ab的中點，
求證 ad、be、cf交於一點，且都被該點分成2：1.
證明鏈結de，設ad、be交於點g，
d、e分別為bc、ae的中點，則de//ab，且，
∽，且相似比為1：2，
.設ad、cf交於點，同理可得，
則與重合，
ad、be、cf交於一點，且都被該點分成.
三角形的三條角平分線相交於一點，是三角形的內心. 三角形的內心在三角形的內部，它到三角形的三邊的距離相等.（如圖3.2-5）
例2 已知的三邊長分別為，i為的內心，且i在的邊上的射影分別為，求證：.
證明作的內切圓，則分別為內切圓在三邊上的切點，
為圓的從同一點作的兩條切線，，
同理，bd=bf，cd=ce.
即.例3 若三角形的內心與重心為同一點，求證：這個三角形為正三角形.
已知 o為三角形abc的重心和內心.
求證三角形abc為等邊三角形.
證明如圖，連ao並延長交bc於d.
o為三角形的內心，故ad平分，
（角平分線性質定理）
o為三角形的重心，d為bc的中點，即bd=dc.
，即.同理可得，ab=bc.
為等邊三角形.
三角形的三條高所在直線相交於一點，該點稱為三角形的垂心.銳角三角形的垂心一定在三角形的內部，直角三角形的垂心為他的直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形的外部.（如圖3.2-8）
例4 求證：三角形的三條高交於一點.
已知中， ad與be交於h點.
求證 .
證明以ch為直徑作圓，
在以ch為直徑的圓上，
.同理，e、d在以ab為直徑的圓上，可得.
，又與有公共角，，即.
過不共線的三點a、b、c有且只有乙個圓，該圓是三角形abc的外接圓，圓心o為三角形的外心.三角形的外心到三個頂點的距離相等，是各邊的垂直平分線的交點.
練習11．求證：若三角形的垂心和重心重合，求證：該三角形為正三角形.
2． （1） 若三角形abc的面積為s，且三邊長分別為，則三角形的內切圓的半徑是
（2）若直角三角形的三邊長分別為（其中為斜邊長），則三角形的內切圓的半徑是並請說明理由.
初中數學中被刪掉的有用知識 平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理 在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度 長度比的問題.在數學學習與研究中，我們發現平行線常能產生一些重要的長度比.在一張方格紙上，我們作平行線 如圖3.1 1 直線交於點，另作直線交於點，不難發現 我們將這個結論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線...
初中數學中被刪掉的有用知識 一元二次方程
2.1 一元二次方程 2.1.1根的判別式 我們知道，對於一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 用配方法可以將其變形為 因為a 0，所以，4a2 0 於是 1 當b2 4ac 0時，方程 的右端是乙個正數，因此，原方程有兩個不相等的實數根 x1，2 2 當b2 4ac 0時，方程 的右端為零，因...
初中三角形知識
三角形 測試參考試卷 班級姓名學號 一 選擇題 1 在下列長度的四根木棒中，能與4cm 9cm長的兩根木棒釘成乙個三角形的是 a 4cmb 5cmc 9cmd 13cm 2 在下圖中，正確畫出ac邊上高的是 abcd 3 如圖，pd ab，pe ac，垂足分別為d e，且pd pe，則 apd與 a...