平行線分線段成比例定理
在解決幾何問題時，我們常涉及到一些線段的長度、長度比的問題.在數學學習與研究中，我們發現平行線常能產生一些重要的長度比.
在一張方格紙上，我們作平行線（如圖3.1-1），直線交於點，，另作直線交於點，不難發現
我們將這個結論一般化，歸納出平行線分線段成比例定理：
三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例.
如圖3.1-2，，有.當然，也可以得出.在運用該定理解決問題的過程中，我們一定要注意線段之間的對應關係，是「對應」線段成比例.
例1 如圖3.1-2，，
且求.解
例2 在中，為邊上的點，，
求證：.
證明（1）
∽， 證明（2） 如圖3.1-3，過作直線，
.過作交於，得，
因而從上例可以得出如下結論：
平行於三角形的一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.
平行於三角形的一邊，並且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.
例3 已知，在上，，能否在上找到一點，使得線段的中點在上.
解假設能找到，如圖3.1-4，設交於，則為的中點，作交於.
，，且，
，且為的中點.
可見，當為的中點時，的中點在上.
我們在探索一些存在性問題時，常常先假設其存在，再解之，有解則存在，無解或矛盾則不存在.
例4 在中，為的平分線，求證：.
證明過c作ce//ad，交ba延長線於e，
ad平分由知.
例4的結論也稱為角平分線性質定理，可敘述為角平分線分對邊成比例（等於該角的兩邊之比）.
練習11．如圖3.1-6，，下列比例式正確的是（ ）
a． b．
c． d.
2．如圖3.1-7， 求.
3．如圖，在中，ad是角bac的平分線，ab=5cm,ac=4cm,bc=7cm,求bd的長.
4．如圖，在中，的外角平分線交的延長線於點，求證：.（三角形外角平分線定理）
5．如圖，在的邊ab、ac上分別取d、e兩點，使bd=ce，de延長線交bc的延長線於f.求證：.
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