第十四章一次函式
14.1 變數與函式
1、變數與常量的意義
在乙個變化過程中，我們稱數值發生變化的量為變數（variable）。數值始終不變的量為常量。
友情提醒：在某乙個變化過程中，變數、常量都可能有多個。常量可以是乙個實數，也可以是乙個代數式（數值始終保持不變）。
例1、寫出下列各問題中所滿足的關係式，並指出各個關係式中，哪些量是變數，哪些量是常量？
1、在一根彈簧的下端懸掛中重物，改變並記錄重物的質量，觀察並記錄彈簧長度的變化規律，如果彈簧原長10cm，每1kg重物使彈簧伸長0.5cm，怎樣用含重物質量 m(單位：kg)的式子表示受力後彈簧長度l（單位：
cm）？
2、用總長為60m的籬笆圍成矩形場地，求矩形的面積s（m2）與一邊長x(m)之間的關係式；
3、某種活期儲蓄的月利率為0.16%,存入10000元本金，按國家規定，取款時，應繳納利息部分的20%的利息稅，求這種活期儲蓄扣除利息稅後實得的本息和y(元)與所存月數x之間的關係式.
4、如圖，每個圖中是由若干個盆花組成的圖案，每條邊（包括兩個頂點）有n盆花，每個圖案的花盆總數是s，求s與n之間的關係式.
2、函式的概念
一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有惟一確定的值與其對應，那麼我們就說x是自變數，y是x的函式。如果當x=a時，y=b，那麼b叫做當自變數的值為a時的函式值。
注意：1、對函式概念的理解，主要應該抓住以下三點：⑴有兩個變數；⑵乙個變數的數值隨著另乙個變數的數值變化而變化；⑶自變數每確定乙個值，函式有乙個並且只有乙個值與之對應。
2、函式不是數,它是指某一變化過程中兩個變數之間的關係。3、自身先改變的是自變數,隨之而變的是函式。
例1、判斷下列變數之間是不是函式關係：
（1）長方形的寬一定時，其長與面積；（2）等腰三角形的底邊長與面積；（3）某人的年齡與身高。
例2、一輛汽車的油箱中現有汽油50l，如果不再加油，那麼油箱中的油量y（單位：l）隨行駛里程x（單位：km）的增加而減少，平均耗油量為0.1l/km。
（1）寫出表示y與x的函式關係式。（2）指出自變數x的取值範圍。（3）汽車行駛200km時，油箱中還有多少汽油？
解：（1）y=50-0.1x2）0≤x≤5003）x=200, y=30
3、函式的表示方法
函式的表示方法為解析法、列表法和圖形法，這三種方法在解決問題時是可以相互轉化的。
①解析法：把兩個變數的函式關係用乙個等式來表示，該等式簡稱解析式
優點：函式關係清楚，容易由自變數的值，求出對應的函式值（反之也可），便於利用解析式來研究函式的性質。
②列表法：列出**來表示兩個變數的函式關係。如：銀行的利息表，三角函式表，平方根表。
優點：不用計算，就可求出函式值。
③影象法：用影象表示兩變數之間的關係如：醫務室的身高圖，氣象台的氣溫變化圖。我國人口出生率變化的曲線圖。
優點：形象直觀地表示出函式的變化情況。
例1 一水庫的水位在最近5消耗司內持續**，下表記錄了這5個小時水位高度.
①由記錄表推出這5個小時中水位高度y(單位公尺)隨時間t （單位：時）變化的函式解析式，並畫出函式圖象；
②據估計這種**的情況還會持續2個小時，**再過2個小時水位高度將達到多少公尺？
解：（1）y=0.05t+10 (0≤t≤7)
（2）當t=5+2=7時，y=0.05t+10=10.35
預計2小時後水位將達到10.35公尺。
4、函式圖象的意義
一般地，對於乙個函式，如果把自變數與函式的每對對應值分別作為點的橫、縱座標，那麼座標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函式的圖象（graph）。
例1 下面的圖象反映的過程是小明從家去菜地澆水，有去玉公尺地鋤草，然後回家。其中x表示時間，y表示小名離家的距離。
根據圖象回答問題：
⑴菜地離小明家多遠？小明走到菜地用了多少時間？；⑵小明給菜地澆水用了多少時間？
⑶菜地離玉公尺地多遠？小明從菜地到玉公尺地用了多少時間？⑷小明給玉公尺鋤草用了多少時間？
⑸玉公尺地離小名家多遠？小明從玉公尺地走回家的平均速度是多少？
5、畫函式影象的一般步驟
1、列表: 2、描點: 3、連線:。
6、函式自變數的取值範圍：【三招確定「函式自變數取值範圍」】
乙個函式關係式的自變數取值是有一定範圍的，自變數取值範圍必須使關係式或題中條件有意義。那麼如何才能準確地確定自變數的取值範圍呢?下面介紹三種方法:
第一招: 必須使含自變數的代數式有意義.
⑴解析式是整式時,自變數取值範圍是全體實數.
例如:指出下列各函式的自變數取值範圍: ①y = x2-1 ；②y = 3x -2； ③ y =-5x .
解:這三個函式式中,右邊的式子都是含自變數x的整式，所以它們的自變數取值範圍是全體實數。
⑵解析式是分式時,自變數的取值範圍是使分母不為0的實數.
例如: 確定下列函式的自變數取值範圍:①y=； ②y= ； ③ y =
解：這三個函式式中，右邊的式子都是含自變數x的分式，所以分母不為零時，函式有意義。
所以①中的x≠0；②中的x≠-1；③中的x≠1且x≠-1
⑶解析式是偶次根式,自變數的取值範圍是被開方數為非負數.
例如：確定下列函式的自變數取值範圍:
①y=； ②y= ；③ y = ；④ y=
解：① x≥2； ②全體實數 ；③ 即 x≥0且x≠1；④ 全體實數
⑷含有零指數、負整指數冪的函式,自變數的取值範圍是使底數不為零的實數.
例如：確定下列函式的自變數取值範圍:
1 y=； ② y=
解： ①x-2≠0， x≠2 ; ②即x≥-1且x≠0
第二招:必須使實際問題有意義.
例如：一輛汽車的油箱中有汽油40公升，該車每千公尺油耗為0.4公升，請寫出油箱剩餘油量q（公升）與行駛路程s（千公尺）之間的函式關係式，並確定自變數取值範圍。
解：q = 40 -0.4s ∵∴ ∴0≤s≤10
∴自變數取值範圍為0≤s≤10
第三招:必須使圖形存在.
例1：a、b、c、d四個人做遊戲a、b、c三人站在三個不同的點上構成乙個三角形且∠bac=40°，
d在△abc內部移動，但不能超越△abc。則d與b、c構成乙個三角形，則∠bdc的度數的取值範圍是解:40°＜∠bdc＜180°
例2 :已知等腰三角形的周長為20cm， 請寫出底邊長y（cm）與腰長x（cm）之間的函式關係式，並確定自變數x的取值範圍。
解：y= 20- 2x ∵ ∴∴ 5 ＜x＜10
例3：已知等腰直角△abc的直角邊長與正方形mnpq的邊長均為20厘公尺,ac與mn在同一直線上,開始時點a與點n重合.讓△abc以每秒2厘公尺的速度向左運動,最終點a與點m重合,
則重疊三角形部分的面積y(cm2)與時間t(秒)之間的函式關係式為自
變數t 的取值範圍是
分析:在移動的過程中,重合部分的三角形也為等腰直角三角形an=2t , 則
ma= 20-2t, 所以解析式可求.由0＜ma≤20可確定自變數取值範圍解: y= , 自變數t 的取值範圍是0≤t＜10
14.2一次函式
1、正比例函式
一般地，形如y=kx（k是常數，k≠0）的函式，叫做正比例函式，其中k叫做比例係數．
例1、寫出下列函式的關係式。
（１）圓的周長l隨半徑r的大小變化而變化。（２）鐵的密度為7．8g/cm3．鐵塊的質量m（g）隨它的體積v（cm3）的大小變化而變化。（３）每個練習本的厚度為0．5cm．一些練習本摞在一些的總厚度h（cm）隨這些練習本的本數n的變化而變化。
（４）冷凍乙個0℃的物體，使它每分鐘下降2℃．物體的溫度ｔ（℃）隨冷凍時間t（分）的變化而變化。
2、正比例函式解析式與圖象特徵之間的規律：
正比例函式y=kx（k是常數，k≠0）的圖象是一條經過原點的直線，我們稱它為直線y=kx．當k>0時，圖象經過
三、一象限，從左向右上公升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，圖象經過
二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。
經過原點與點（1，k）的直線是函式y=kx的圖象．
畫正比例函式圖象時，只需在原點外再確定乙個點，即找出一組滿足函式關係式的對應數值即可，如（1，k），因為兩點可以確定一條直線。
例2、汽車由天津駛往相距120千公尺的北京，ｓ（千公尺）表示汽車離開天津的距離，t（小時）表示汽車行駛的時間。如圖所示
１．汽車用幾小時可到達北京？速度是多少
２．汽車行駛１小時，離開天津有多遠
３．當汽車距北京20千公尺時，汽車出發了多長時間
解法一：用圖象解答
從圖上可以看出4個小時可到達
速度＝=30（千公尺／時）．
行駛１小時離開天津約為30千公尺．
當汽車距北京20千公尺時汽車出發了約3．3個小時．
解法二：用解析式來解答：
由圖象可知：ｓ與t是正比例關係，設s=kt，當t=4時s=120
即120=k×4 k=30
∴s=30t．
當t=1時 s=30×1=30（千公尺）．
當s=100時 100=30t t=（小時）．
以上兩種方法比較，用圖象法解題直觀，用解析式解題準確，各有優特點．
3、一次函式的意義
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