本科）試卷（ a 卷）
2011--2012 學年第二學期
《 高等數學(a)ii 》試卷答案
開課單位： 數學教研室 ，考試形式：閉卷，允許帶入場一、填空題（共21分每小題3分）
1．曲線繞軸旋轉一周生成的旋轉曲面方程為．2．直線與直線的夾角為．
3．設函式，則．
4．設級數收斂，則．
5．設週期函式在乙個週期內的表示式為則它的傅利葉級數在處收斂於．6．全微分方程的通解為 ．
7．寫出微分方程的特解的形式．
二、解答題（共18分每小題6分）
1．求過點且垂直於直線的平面方程．
解：設所求平面的法向量為，則4分)
所求平面方程為6分)
2．將積分化為柱面座標系下的三次積分，其中是曲面及所圍成的區域．
解3分)
(6分)
3．計算二重積分，其中閉區域
解4分)
6分) 三、解答題（共35分每題7分）
1．設，而，，求．
解：(3分)
(6分)
(7分)
2．函式由方程所確定，求．
解：令2分)
則5分)
7分)3．計算曲線積分，其中是在圓周上由到點的有向弧段．解：新增有向輔助線段，有向輔助線段與有向弧段圍成的閉區域記為，根據格林公式
5分)7分)
4．設曲線積分與路徑無關，其中是連續可微函式且滿足，求．解： 由得，
即3分)
所以， (6分)
代入初始條件，解得，所以7分)
5．判斷級數的斂散性．
解： 因為3分)
6分)故該級數收斂7分)
四、（7分）計算曲面積分，其中是上半球
面的上側．
解：新增輔助曲面，取下側，則在由和所圍成的空間閉區域上應用高斯公式得4分)
6分)7分)
五、（6分）在半徑為的圓的內接三角形中，求其面積為最大的三角形．解：設三角形各邊所對圓心角分別為，則，
且面積為，
令3分)
由4分)得．此時，其邊長為． 由於實際問題存在最大值且駐點唯一，故當內接三角形為等邊三角形時其面積最大6分)
六、（8分）求級數的收斂域，並求其和函式．解： ，故收斂半徑為2分)
當時，根據萊布尼茨判別法，級數收斂
當時， 級數為調和級數，發散．
故原級數的收斂域為5分)
設和為，即，求導得
6分)再積分得
， (8分)
七、（5分）設函式在正實軸上連續，且等式
對任何成立．如果，求．
解：等式兩邊對求偏導得
2分)上式對任何仍成立．令，且因，故有
3分)由於上式右邊可導，所以左邊也可導．兩邊求導，得即．故通解為 ．當時，，故．
因此所求的函式為5分)
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