等比數列｛an｝的各項均為正數，且a5a6+a4a7=18,求**中式子的值
解:由於為等比數列
則:a5a6=a4a7=a3a8=a2a9=a1a10
又a5a6+a4a7=18
則:2a5a6=18
a5a6=9
則:log3(a1)+log3(a2)+...+log3(a9)+log3(a10)
=log3[a1*a2*a3*...*a10]
=log3[(a1a10)*(a2a9)*...*(a5a6)]
=log3[9*9*...*9]
=log3[9^5]
=log3[3^10]
=10log3[3]
=10設數列的前n項和為sn,若對於任意的正整數n都有sn=2an-3n。 (1)設bn=an+3,證明:數列｛bn｝是等比數列(2）求數列｛n倍an｝的前n項和
(1)sn=2an-3n
n=1時，s1=a1,故有：a1=2a1-3,a1=3
n>=2時，
an=sn-s(n-1)＝2an-3n-[2a(n-1)-3(n-1)]＝2an-2a(n-1)-3
即：an＝2a(n-1)+3
兩邊+3
an+3＝2[a(n-1)+3]
而bn=an+3,代入：
bn=2b(n-1)
所以數列是等比數列，q=2,首項為b1=a1+3＝6
bn=6*2^(n-1)=3*2^n
an=bn-3=3*2^n-3
(2)設cn=nan=3n*2^n-3n,為兩項和
前n項和為tn
tn＝3*[1*2^1+2*2^2+3*2^3+……+n*2^n]-[3+6+9+……+3n]
2tn＝3*[1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[3+6+9+……+3n]
上式減去下式：
-tn＝3*[1*2^1+2^2+2^3+2^4+……+2^n-n*2^(n+1)]+[3+6+9+……+3n]
＝3*2(2^n-1)/(2-1)-3n*2^(n+1)+n(3+3n)/2
＝(3-3n)*2^(n+1)+3n(n+1)/2-6
故：tn＝(3n-3)*2^(n+1)-3n(n+1)/2+6
注：求這類n項和，都是用tn減去qtn，錯位相消法。
若多項式x2+x10=a0+a1(x+1)+....+a9(x+1)9+a10(x+1）10，則a9為
a -11 b-10 c10 d11
解析主要是比較係數法。觀察可知右邊是乙個10次多項式，且10次項的係數為a10,比較係數可知a10=1
再看九次項的係數，它由a9(x+1)^9+a10(x+1)^10兩項決定，a9(x+1)^9 易知9次項係數為a9, 而a10(x+1)^10中9次項的係數稍微複雜，
將其展成a10(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)(x^2+2x+1)
而9次項必由4個x^2和1個x相乘得來的,這樣9次項的係數為10，所以最後可得9次項的係數為a9+10a10=a9+10
再根據比較係數法a9=-10
已知向量a=(sin(π/2+x）,根號cosx),b=(sinx,cosx)f(x)=a*b
1）求f(x)的最小正週期和單調增區間：
2）如果三角形abc中，滿足f(a)=（根號3）/2，求角a的值
解⑴f(x)=a*b=sin(π/2+x）*sinx+√3cosx*cosx
=1/2sin2x+√3/2（1+cos2x）
=sin（2x+π/3）+√3/2
最小正週期t=2π/2=π
單調遞增區間：2x+π/3∈【2kπ-π/2，2kπ+π/2】，即x∈【kπ-5π/6，kπ+π/6】，k∈z
單調遞減區間：2x+π/3∈【2kπ+π/2，2kπ+3π/2】，即x∈【kπ+π/6，kπ+7π/6】，k∈z
2)、f（a）=√3/2==sin（2a+π/3）+√3/2，得2a+π/3=π，得a=π/3
或2a+π/3=2π，得a=5π/6
已知函式f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos^2x
求f（x）的最大值和最小值正週期
求使fx>=2的x的取值範圍
解⑴f(x)=sin(2x+π/6)+sin(2x-π/6)+2cos^2x
=(√3/2)sin(2x)+(1/2)cos(2x)+(√3/2)sin(2x)-(1/2)cos(2x)+1+cos(2x)
=√3sin(2x)+cos(2x)+1
=2[(√3/2)sin(2x)+(1/2)cos(2x)]+1
=2sin(2x+π/6)+1
f(x)max=3,最小正週期是π
⑵f(x)≥2,即2sin(2x+π/6)≥1，即sin(2x+π/6)≥1/2
2kπ+π/6≤2x+π/6≤2kπ+(5/6)π
得kπ≤x≤kπ+π/3,k∈z
函式y=asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π/2)在同乙個週期內，當x=π/4時，y取最大值1，當x=7π/12時，y取最小值-1.
（1）求函式的解析式y=f（x）
（2）函式y=sinx的圖象經過怎樣的變換可得到y=f（x）的圖象?
（3）若函式f（x）滿足方程f（x）=a（0＜a＜1），求在【0,2π】內的所有實數根之和。
解1）a =1
最小正週期 t= 2*（ 7π/12 - π/4）= 2π/3
ω = 2π/t = 3
取x=π/4代入：1=sin(3π/4 + φ)，求得 φ = -π/4 （在+/-π/2內）
所求解析式為：y = sin(3x-π/4)
2)橫向壓縮到1/3，使週期一致，再右移π/4，使初始角一致。
3）sin(3x-π/4) = a, 0＜a＜1
【0,2π】內函式有三個周波，方程有6個解。這些解關於π+π/4=5π/4對稱。
因此其和為 6* 5π/4 = 15π/2
在△abc中，內角a，b，c對邊的邊長分別是a，b，c，已知c＝2，c＝.
(1)若△abc的面積等於，求a，b；
(2)若sinc＋sin(b－a)＝2sin2a，求△abc的面積．
[解析] (1)由餘弦定理及已知條件得，a2＋b2－ab＝4，又因為△abc的面積等於，所以absinc＝，得ab＝4.聯立方程組解得a＝2，b＝2.
(2)由題意得sin(b＋a)＋sin(b－a)＝4sinacosa，即sinbcosa＝2sinacosa，
當cosa＝0時，a＝，b＝，a＝，b＝，
當cosa≠0時，得sinb＝2sina，由正弦定理得b＝2a，聯立方程組
解得a＝，b＝.
所以△abc的面積s＝absinc＝.
已知集合a＝，b，且a∪b＝a，求實數m的值組成的集合．
.解析：a＝＝，a∪b＝a，
∴ba.
①m＝0時，b＝，ba；
②m≠0時，由mx＋1＝0，得x＝－.
∵ba，∴－∈a，
∴－＝2或－＝3，得m＝－或－
所以符合題意的m的集合為.
已知函式的定義域為集合,函式的定義域為集合,若,求實數的值及實數的取值範圍..
解: , 又
即不等式的解集為
由,方程的兩根都在
解得故,
)某校高三數學競賽初賽考試後，對90分以上(含90分)的成績進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示，若130～140分數段的人數為2人．
(1)估計這所學校成績在90～140分之間學生的參賽人數；
(2)估計參賽學生成績的中位數；
(3)現根據初賽成績從第一組和第五組(從低分段到高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人，形成幫扶學習小組，若選出的兩人成績之差大於20，則稱這兩人為「**搭檔組」，試求出的兩人為「**搭檔組」的概率．
[解析] (1)設90～140分之間的人數是n，
由130～140分數段的人數為2人，可知0.005×10×n＝2，得n＝40.
(2)設中位數為x，則
0．35＋(x－110)×0.045＝0.2＋(120－x)×0.045，解得x＝≈113，
即中位數約為113分．
(3)依題意，第一組共有40×0.01×10＝4人，記作a1、a2、a3、a4；第五組共有2人，記作b1、b2從第一組和第五組中任意選出兩人共有下列15種選法：
、、、、、；、、、；、、、；
設事件a：選出的兩人為「**搭檔組」，若兩人成績之差大於20，則兩人分別來自於第一組和第五組，共有8種選法，故p(a)＝.
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