必修一集合[**:學,科,網]
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[**1. 基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號的使用.
2. 集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.
集合元素的特徵：確定性、互異性、無序性.
集合的性質：
①任何乙個集合是它本身的子集，記為；
②空集是任何集合的子集，記為；
③空集是任何非空集合的真子集；
如果，同時，那麼a = b.
如果.[注]：①z= （√） z = （×）
②已知集合s 中a的補集是乙個有限集，則集合a也是有限集.（×）（例：s=n； a=，則csa= ）
③ 空集的補集是全集
④若集合a=集合b，則cba = ， cab = cs（cab）= d （ 注 ：cab = ）.
3. ①座標軸上的點集.
② 一、三象限的點集.
[注]：①對方程組解的集合應是點集.
例： 解的集合.
②點集與數集的交集是. （例：a = b= 則a∩b =）
4. ①n個元素的子集有2n個. ②n個元素的真子集有2n －1個. ③n個元素的非空真子集有2n－2個.
5. ⑴①乙個命題的否命題為真，它的逆命題一定為真. 否命題逆命題.
②乙個命題為真，則它的逆否命題一定為真. 原命題逆否命題.
例：①若應是真命題.
解：逆否：a = 2且 b = 3，則a+b = 5，成立，所以此命題為真.
② .
解：逆否：x + y =3x = 1或y = 2.
,故是的既不是充分，又不是必要條件.
⑵小範圍推出大範圍；大範圍推不出小範圍.
3. 例：若.
4. 集合運算：交、並、補.
5. 主要性質和運算律
（1） 包含關係：
（2） 等價關係：
（3） 集合的運算律：
交換律：
結合律:
分配律:.
0-1律：
等冪律：
求補律：a∩cua=φ a∪cua=u cuu=φ cuφ=u
反演律：cu(a∩b)= (cua)∪(cub) cu(a∪b)= (cua)∩(cub)
6. 有限集的元素個數
定義：有限集a的元素的個數叫做集合a的基數，記為card( a)規定 card(φ) =0.
基本公式：
(3) card(ua)= card(u)- card(a)
函式（一） 對映與函式
1. 對映與一一對映
2.函式
函式三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定後，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.
3.反函式
反函式的定義
設函式的值域是c，根據這個函式中x,y 的關係，用y把x表示出，得到x=(y). 若對於y在c中的任何乙個值，通過x=(y)，x在a中都有唯一的值和它對應，那麼，x=(y)就表示y是自變數，x是自變數y的函式，這樣的函式x=(y) (yc)叫做函式的反函式，記作,習慣上改寫成
（二）函式的性質
⒈函式的單調性
定義：對於函式f(x)的定義域i內某個區間上的任意兩個自變數的值x1,x2,
⑴若當x1⑵若當x1f(x2),則說f(x) 在這個區間上是減函式.
若函式y=f(x)在某個區間是增函式或減函式，則就說函式y=f(x)在這一區間具有（嚴格的）單調性，這一區間叫做函式y=f(x)的單調區間.此時也說函式是這一區間上的單調函式.
2.函式的奇偶性
7. 奇函式，偶函式：
⑴偶函式：
設（）為偶函式上一點，則（）也是圖象上一點.
偶函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於軸對稱，例如：在上不是偶函式.
②滿足，或，若時，.
⑵奇函式：
設（）為奇函式上一點，則（）也是圖象上一點.
奇函式的判定：兩個條件同時滿足
①定義域一定要關於原點對稱，例如：在上不是奇函式.
②滿足，或，若時，.
8. 對稱變換：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判斷函式單調性（定義）作差法：對帶根號的一定要分子有理化，例如：
在進行討論.
10. 外層函式的定義域是內層函式的值域.
例如：已知函式f（x）= 1+的定義域為a，函式f[f（x）]的定義域是b，則集合a與集合b之間的關係是
解：的值域是的定義域，的值域，故，而a，故.
11. 常用變換：
①.證：②證：
12. ⑴熟悉常用函式圖象：
例：→關於軸對稱
→關於軸對稱.
⑵熟悉分式圖象：
例：定義域，
值域→值域前的係數之比.
（三）指數函式與對數函式
指數函式的圖象和性質
對數函式y=logax的圖象和性質:
對數運算：
（以上）
注⑴：當時，.
⑵：當時，取「+」，當是偶數時且時，，而，故取「—」.
例如：中x＞0而中x∈r）.
⑵（）與互為反函式.
當時，的值越大，越靠近軸；當時，則相反.
（四）方法總結
⑴.相同函式的判定方法：定義域相同且對應法則相同.
⑵.函式表示式的求法：①定義法；②換元法；③待定係數法.
⑶.反函式的求法：先解x,互換x、y，註明反函式的定義域(即原函式的值域).
⑷.函式的定義域的求法：布列使函式有意義的自變數的不等關係式，求解即可求得函式的定義域.
常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小於0；③對數的真數大於0，底數大於零且不等於1；④零指數冪的底數不等於零；⑤實際問題要考慮實際意義等.
⑸.函式值域的求法：①配方法(二次或四次)；②「判別式法」；③反函式法；④換元法；⑤不等式法；⑥函式的單調性法.
⑹.單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變數，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比較或作商比較.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關於原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關係：
①f(-x)=f(x)為偶函式；f(-x)=-f(x)為奇函式；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函式.
⑻.圖象的作法與平移：①據函式表示式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函式的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函式的圖象與對稱性描繪函式圖象.
函式與方程：
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的區間，則必有，再取區間的中點，再判斷的正負號，若，則根在區間中；若，則根在中；若，則即為方程的根．按照以上方法重複進行下去，直到區間的兩個端點的近似值相同（且都符合精確度要求），即可得乙個近似值．
必修二空間幾何，點、線、面的關係
基本概念
公理1：如果一條直線上的兩點在乙個平面內，那麼這條直線上的所有的點都在這個平面內。
公理2：如果兩個平面有乙個公共點，那麼它們有且只有一條通過這個點的公共直線。
公理3： 過不在同一條直線上的三個點，有且只有乙個平面。
推論1: 經過一條直線和這條直線外一點，有且只有乙個平面。
推論2：經過兩條相交直線，有且只有乙個平面。
推論3：經過兩條平行直線，有且只有乙個平面。
公理4 ：平行於同一條直線的兩條直線互相平行。
等角定理：如果乙個角的兩邊和另乙個角的兩邊分別平行並且方向相同，那麼這兩個角相等。
空間兩直線的位置關係：
空間兩條直線只有三種位置關係：平行、相交、異面
1、按是否共面可分為兩類：
（1）共面： 平行、 相交
（2）異面：
異面直線的定義：不同在任何乙個平面內的兩條直線或既不平行也不相交。
異面直線判定定理：用平面內一點與平面外一點的直線，與平面內不經過該點的直線是異面直線。
兩異面直線所成的角：範圍為 ( 0°，90° ) esp.空間向量法
兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條) esp.空間向量法
2、若從有無公共點的角度看可分為兩類：
（1）有且僅有乙個公共點——相交直線；（2）沒有公共點—— 平行或異面
直線和平面的位置關係：
直線和平面只有三種位置關係：在平面內、與平面相交、與平面平行
①直線在平面內——有無數個公共點
②直線和平面相交——有且只有乙個公共點
直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內的射影所成的銳角。
esp.空間向量法(找平面的法向量)
規定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內，所成的角為0°角
由此得直線和平面所成角的取值範圍為 [0°，90°]
最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內任一條直線所成角中的最小角
三垂線定理及逆定理: 如果平面內的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那麼它也與這條斜線垂直
esp.直線和平面垂直
直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和乙個平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線，平面叫做直線a的垂面。
直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和乙個平面內的兩條相交直線都垂直，那麼這條直線垂直於這個平面。
人教版高中數學必修
高一數學必修1各章知識點總結 第一章集合與函式概念 一 集合有關概念 1.集合的含義 2.集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性如 世界上最高的山 2 元素的互異性如 由happy的字母組成的集合 3 元素的無序性 如 和是表示同乙個集合 3.集合的表示 如 1 用拉丁字母表示集合 a b 2 集...
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