jordan標準型的認識

歐崢 11應數一班 2011326660117

矩陣內容，是大學學習中必須學習的知識點！其廣泛的應用性，還有在處理資料上的優越性，矩陣是學習很多知識體系的支柱，在資料結構，自動控制原理，常微分計算等等上都是基礎！

矩陣的對角化用處很大，因為對角化後，對矩陣加乘等運算都可以簡單很多，尤其在涉及特徵值的方面！但是許多時候矩陣不能對角化。這時候相似變換的最好結果就是jordan標準型的形式，因為矩陣的jordan標準型是最簡單的！

一、若爾當標準型

定義1 設是乙個複數，矩陣1 ）

其中主對角上的元素都是，緊鄰主對角線下方的元素都是1，其餘位置都是零，叫做屬於

的乙個若爾當（或若爾當塊）.

當=0時，就是所謂的冪零若爾當矩陣.

定理1 設是維向量空間的乙個線性變換，都是的一切互不相同的本徵值，那麼存在的乙個基，似的關於這個基的矩陣有形狀

2 ）

這裡=，而都是屬於的若爾當塊，

定義2 形式如的階矩陣，其中每一都是乙個若爾當塊，叫做乙個若爾當標準形式.

例如：都是若爾當標準形式.

定理2 複數域上每一階矩陣都與乙個當爾當標準形式相似，除了各若爾當塊排列的次序外，與相似的若爾當標準形式是由唯一確定的.

二、用jordan標準型求解線性微分方程組

現實的很多問題，都可以用現行微分方程組近似的去模擬，但很多的死後，不需要用到複數去求解，這個時候，如果使用jordan標準型就可以迅速的解決問題！上面我們大概講述了jordan標準型的定義及定理，下面我們就來看一下其應用。

1），方程組的基本解矩陣為

其中，是階的若當塊，，，而為矩陣的初等因子的個數，，為矩陣的特徵根，為階非奇異矩陣，使得，。

注：矩陣中空白的地方為零，稱為過渡矩陣。

2），以為例, 對於這類問題，一般有兩種思路：(1)的特解和通解另一種思路就是將它化為與之等價的一階線性微分方程組計算相應的齊線性方程組的基解矩陣

首先把微分方程組該寫成矩陣形式：

其中：，，

在給微分方程組施行乙個非奇異線性變換，即：

其中，於是，就有====

對求約當標準型，先求其的特徵值，得到特徵值

然後，jordan標準型得到得到：

所以：，，

其一般解分別為：，，

再由，求的原微分方程的一般解：

由此，可以得到用jordan標準型求解線性微分方程組出的答案，即是jordan標準型在求解線性微分方程組的應用！用jordan標準型，對於一些方程，可以大大的簡化步驟！

在許多的實際問題中，使用複數往往沒有多大的意義，因此，需要在實數域r上來求標準型！化矩陣為jordan標準型，實際上就是適當選擇線性空間的基或者座標系，使得在新座標系之下，問題的數學形式最為簡單，從而研究！

經過此次學習，。證明關於一般方陣（不能保證對角化）的某題，需要用到jordan標準型，比如用jordan標準型求解線性微分方程組。