遞推數列特徵方程的**與應用
遞推是中學數學中乙個非常重要的概念和方法，遞推數列問題能力要求高，內在聯絡密切，蘊含著不少精妙的數學思想和數學方法。新教材將數列放在高一講授，並明確給出「遞推公式」的概念：如果已知數列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關係可以用乙個公式來表示，那麼這個公式叫做數列的遞推公式。
有通項公式的數列只是少數，研究遞推數列公式給出數列的方法可使我們研究數列的範圍大大擴充套件。新大綱關於遞推數列規定的教學目標是「了解遞推公式是給出數列的一種方法，並能根據遞推公式寫出數列的前幾項」，但從近幾年來高考試題中常以遞推數列或與其相關的問題作為能力型試題來看，這一目標是否恰當似乎值得**，筆者以為「根據遞推公式寫出數列的前幾項」無論從思想方法還是從培養能力上來看，都不那麼重要，重要的是學會如何去發現數列的遞推關係，學會如何將遞推關係轉化為數列的通項公式的方法。本文以線性遞推數列通項求法為例，談談這方面的認識。
關於一階線性遞推數列：其通項公式的求法一般採用如下的引數法[1]，將遞推數列轉化為等比數列：
設，令，即，當時可得
知數列是以為公比的等比數列，
將代入並整理，得
對於二階線性遞推數列，許多文章都採用特徵方程法[2]：
設遞推公式為其特徵方程為，
1、 若方程有兩相異根、，則
2、 若方程有兩等根則
其中、可由初始條件確定。
很明顯，如果將以上結論作為此類問題的統一解法直接呈現出來，學生是難以接受的，也是不負責任的。下面我們結合求一階線性遞推數列的引數法，**上述結論的「**」。
設，則,
令 （*）
（1） 若方程組（*）有兩組不同的解,則,,
由等比數列性質可得,
由上兩式消去可得
.特別地，若方程組（*）有一對共扼虛根通過複數三角形式運算不難求得此時數列的通項公式為其中、可由初始條件求出。
（2） 若方程組（*）有兩組相等的解，易證此時，則
，,即是等差數列，
由等差數列性質可知，
所以．這樣，我們通過將遞推數列轉化為等比（差）數列的方法，求得二階線性遞推數列的通項，若將方程組（*）消去（或）即得此方程的兩根即為特徵方程的兩根，讀者不難發現它們的結論是完全一致的，這正是特徵方程法求遞推數列通項公式的根源所在。
例1、 斐波那契數列，求通項公式。
解此數列對應特徵方程為即，解得，
設此數列的通項公式為，
由初始條件可知，
，解之得，
所以。例2、 已知數列且，求通項公式。
解此數列對應特徵方程為即，解得，
設此數列的通項公式為，
由初始條件可知，
，解之得，
所以。例3 已知數列且，求通項公式。
解此數列對應特徵方程為即，
解得， 設此數列的通項公式為，
由初始條件可知，
，解之得，
所以。最後我們指出，上述結論在求一類數列通項公式時固然有用，但將遞推數列轉化為等比（等差）數列的方法更為重要。如對於高階線性遞推數列和分式線性遞推數列，我們也可借鑑前面的引數法，求得通項公式。
例4、設數列滿足
解： 對等式兩端同加引數得
，，代入，
得相除得
即的等比數列，
。參考文獻
[１] 楊亢爾．乙個數列遞推公式和一類應用題的解法．數學教學研究，2001.4.
[２] 沈文宣. 初等數學研究教程.湖南教育出版社，1996.
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