例2 在矩形域上求解泊松方程的邊值問題
解先找泊松方程的乙個特解v．顯然滿足。其實 (是兩個積分常數)也滿足。我們打算選擇適當的，使v滿足齊次邊界條件(188)。容易看出，。這樣，
令把上式代入u的定解問題，就把它轉化為w的邊值問題
仿照3.1例 3，滿足的方程和x軸上的邊界條件的解可表為
為確定係數和，以代入y軸上的邊界條件，
將的右邊也展為傅利葉正弦級數：
期中將代入得
由此解得
於是代回成為
再將cn代入上式得
從而原問題的解為
散熱片的橫截面為矩形。它的一邊y=b處於較高溫度v，其他三邊b=0，x=0，x=a則處於冷卻介質中因而保持較低的溫度v求解這橫截面上的穩定溫度分布ux,y)即定解問題
解這是二維拉普拉斯方程的第一類邊界值問題。由於不含初始條件，拉普拉斯方程的邊界條件不可能全是齊次的，因為這種條件下的解只能是零。但是，盡可能把一些邊界條件化為齊次，畢竟會帶來一些方便．常用的辦法是把u(x，y))分解為v(x，y)和w(x，y)的線性疊加，
其中v(x，y)和w(x，y) 分別滿足拉普拉斯方程，並各有一組齊次邊界條件，即
很容易驗證，把v和w的泛定方程疊加起來就是u的泛定方程，把v和w的邊界條件疊加起來就是u的邊界條件。於是，問題轉化為求解v和w，而v和w各有兩個齊次邊界條件可以構成本徵值問題，不難分別解出．
其實，本例還有乙個特殊的簡便方法，就是令
則原邊值問題化為
以分離變數形式的試探解
代入的泛定方程和齊次邊界條件，可得
解（s-l）得得特徵值為
相應的特徵函式為
將特徵值代入解得
其中an , bn為任意常數。
這樣，分離變數形式的解已求出為
稱為本徵解．的一般解v(x，y)應是這些本徵解的疊加
an , bn由的非齊次邊界條件來確定，即
把右邊展開為傅利葉正弦級數。然後比較兩邊係數，即得
由此解出
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