小問題不容忽視
——幾何圖形的摺疊問題**
來紫堡陸娟娟
幾何圖形的摺疊作為研究幾何圖形性質的一種方法，被廣泛使用，尤其在研習性學習過程中佔重要的地位，這些都是由它的直觀性，可操作性決定的。在教學過程中使用摺疊的方法，不僅能培養學生動手和抽象思維能力，而且激發了學生**問題的學習興趣，極大的調動了學生學習的主動性。
幾何圖形的摺疊問題在中考時經常被涉及到，學生對自認為簡單易學的這乙個考點往往得分不高，易出現偏差。究其原因學生一般都認為摺疊再簡單不過，一方面思想上重視不夠，另一方面學習時沒有深入對照圖形，對於摺疊前後的圖形關聯沒有弄清楚，以致無從下手。
針對這些問題我認為首先要學生弄清幾何圖形摺疊的依據及性質；其次要學生在初步學習幾何圖形摺疊時加強他們的抽象思維能力的培養，以便接受由易到難的的幾何圖形摺疊，從中尋找到圖形摺疊前後關於摺痕對稱的關聯，盡量避免錯誤的出現。現就這兩點做一簡單的敘述。
一幾何圖形摺疊的依據及性質.摺疊使圖形（或圖形的部分）重合，即使圖形的全等，但摺疊中的全等又不同與一般意義上的圖形全等，但依然具有著全等的特性——對應線段、對應角分別相等，這些學生在摺疊的過程中已體會過，並認識得很清楚，但一經摺疊必定有摺痕的存在，這條摺痕其實就是對稱圖形的對稱軸上的一部分，即摺疊問題同樣具有對稱圖形的性質——對應線段、對應角分別相等，只多了一點對應點的連線被對稱軸（摺痕）垂直平分，這就是說摺疊問題可以從全等角度解釋，也可以從對稱角度說明。當然在解決問題的過程中，選擇適合自己或適合題目的方法即可，這是沒有定法的。
二抽象思維能力的培養.抽象思維能力的培養，要在學生初步學習摺疊是多加注重。由於此階段學生沒有形成完全的抽象認知能力，對於摺疊後的直觀圖形尚能接受，但對摺疊重合的物件被展開復原的圖形認識不足，無法抽象出摺疊前後的整體圖形，也就找不到對應線段、對應角，勢必會出現偏差。
我覺得應該在學生學習過程中不僅要求動手摺疊，關鍵要動手展開，使學生有原圖形與摺疊圖形的對照的意識，以便復原摺疊前後的整體圖形，同時一定要求學生動手作原圖形與摺疊後的圖形（即一折二展三作圖）。這樣讓學生從思想上重視了展開，也就有了復原整體圖形的意識，逐步的培養了學生的抽象思維能力，就不存在找不到摺疊圖形中的等量關係的問題。比如，在學習簡單的軸對稱圖形時，利用摺疊認識線段與角是軸對稱圖形過程中，就可以讓學生依照一折二展三作圖的思路學習，有摺疊不忘展開，比如，將乙個角∠aob對折，使ob與oa重合，摺痕為oe，再將摺疊的角展開，畫出下圖（圖1），從而有∠aoe=∠eob』；
圖1再如，將線段ab對折，使ob與oa重合，摺痕為ef, 再將摺疊的線段展開，畫出下圖（圖2），從而有ao=ob』.
圖2通過這樣的訓練與培養，學生在初步學習摺疊時樹就立起了復原圖形的意識，有了對摺疊的基礎知識掌握與對應關係的理解，既有利於學生掌握摺疊的特性，又有利於學生抽象思維的培養，對於解決摺疊問題便有了充分的準備，不會再出現簡單問題易失分的現象，真正做到嚴謹，不遺不漏，在今後的學習複雜圖形的摺疊過程中就游刃有餘了。
現就摺疊問題常見的幾種題型做一簡單分析，按照摺疊物件的不同一般分為三類情形：
一摺疊使點重合（即對應點對稱）.平行四邊形abcd中，將點b摺疊與點d重合，從而有ef為摺痕，復原整體圖形如 (圖3)所示，其中存在的等量關係有a』e=ae，ad=a』b』，b』e=ed，fb』=fd，
∠a=∠a』， ∠edf=∠eb』f，∠b』ef=∠def，∠b』 fe=∠dfe.一般情形都要求證明四邊形deb』f是菱形.一種方法是利用三角形全等，即△a』b』e≌△ade，△ade≌△cdf，得到對應邊相等，從而得證；另一種方法是利用軸對稱的特性，即點b』與點d關於ef對稱，線段b』d被摺痕ef垂直平分(b』d⊥ef)，從而連線b』d與ef相交於點o，即ob』=od, ∠b』of=∠eob,又由a』b∥b』c得∠bef=∠b』fe，可證△b』of≌△eo b』，從而得of=oe.
從而結論得證.
圖 3
二沿線（摺痕）摺疊，使圖形成軸對稱. 矩形abcd中，將△abc沿對角線ac摺疊，ac即為摺痕，復原整體圖形如(圖4)所示，其中的等量關係有bc=cb』,ab=ab』 ,∠ b=∠b』 ∠acb=∠acb』 ，∠ bac=∠cab』，一般情況下利用勾股定理與一元二次方程相結合在△bcf或△adf中解題；
圖 4
三將平角摺疊後摺痕夾角為90。 .在平角aob上，任取一點m，將ma、mb摺疊，使其共線，復原的整體圖形如(圖5)所示，其中的等量關係有∠ame=∠a』me, ∠bmf=∠b』mf，即隱含∠emf=90。.
可根據這些等量與資訊解決問題.
圖 5
2023年中考題就涉及到了幾何圖形的摺疊問題，題目設計的圖形如第三類情形，然而解題時僅僅簡單的應用了摺疊圖形對應邊、對應角相等的特性，然後與函式、圓綜合應用，在這裡做乙個簡單的分析：
題目： 如圖所示， 矩形oabc在平面直角座標系內，點d在oc邊上，摺疊線段oddc，使點c落在ab邊上的點c1處，點b的座標為（-3，3），∠oad=30。.
(1) 求c1的座標；
(2) 求過點o、c、c1的二次函式解析式，並求出其頂點座標；
(3) 若有乙個的圓心在此拋物線上，且與x、y軸都相切，求此圓的半徑
分析：（1）此題恰好將平角ocd沿著ed、da摺疊，使線段dc1、df共線，則∠eda=90。，oa=of，∠ aod=∠afd=∠af c1= 90。,
∠oad=∠daf，因為∠bao=90。，∠dao=30。 ，所以∠fac1=30。
，就有△dao≌ △afd≌△afc1 ，即od=oc1，只在△aod 中求得線段od的長度即可.又有b點座標可知道，oa=3，所以ad=2， ,即oc1=2，點c1座標即為（-2， 3）；
（2）有二次函式過o（0，0）、c（-3，0）、c1（-2， 3）三點，可設二次函式的解析式為y= a x (x+3)=ax2 +3ax，從而可得所求的解析式，並可得其頂點座標;
(3)有圓的圓心在拋物線上，且與x、y軸都相切，可得當拋物線上的點滿足縱、橫座標的距離相等時符合題意，即要求y=x或y=-x時成立，此時聯立（2）、（3）中的解析式即可.
解：（略
通過簡單的敘述，就幾何圖形的摺疊問題中常出現的型別做了乙個歸納，並簡單分析了摺疊問題對於學生培養抽象思維的一點拙見，有不恰當之處請多多指正.
第一章基本的幾何圖形複習講座
一 知識結構圖 二 重難點解析 一 幾何圖形 1 幾何圖形 從實物中抽象出的各種圖形統稱為幾何圖形 幾何圖形包括立體圖形和平面圖形，像長方體 正方體 圓柱 圓錐 圓台 稜柱 稜錐 稜臺 球等，它們都是立體圖形 像線段 射線 直線 三角形 長方形 梯形 圓 扇形等等，它們都是平面圖形 2 你能把下列圖...
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