作者：丁位卿
**：《中學數學雜誌(初中版)》2023年第06期《中學數學雜誌》2023年第8期刊登了甘志國和高繼勇老師的「正整數平方的一種奇妙性質」[1]，閱後深受啟發.筆者另闢新徑，發現了一類「三個正整數立方和」的一種美妙性質：
三個不同的正整數立方和等於另乙個較大的正整數的立方，同時給出四元三次不定方程x3+y3+z3=u3的一種簡單易懂的初等解法（只用初中知識），供讀者參考.
關於正整數立方和問題，人們於近代已進行了深入研究，發現了三位和四位的「水仙花數」，又稱阿姆斯特朗數，三位的水仙花數共有4個：153，370，371，407；以「153」為例：153=13+53+33，它實際上是三元三次不定方程100x+10y+z=x3+y3+z3（x、y、z分別代表水仙花數的百位、十位和個位數字）的一組正整數解.
筆者又參考了「關於三個整數立方和問題的研究」（文[2]）和「15個著名的不定方程問題」（文[3]）兩篇文獻和其它文獻，發現他們均用初等數論進行論述和證明，一般教師和讀者難以理解和接受，而筆者所研究的這種「四元三次不定方程」x3+y3+z3=u3均沒有涉及到.
眾所周知，32+42=52，52+122=132，兩組勾股數疊加為：32+42+122=132，一般地，n2+（n+1）2+[n（n+1）]2=[n（n+1）+1]2，式中n為任意正整數，同樣，人們發現33+43+53=63，一般地x3+y3+z3=u3，式中x、y、z、u均為正整數，（如下表所示），它就是這種難度很大的「四元三次不定方程」.顯然kx、ky、kz、ku也為不定方程x3+y3+z3=u3的解（k為任意正整數）它有無窮多組正整數解.
不失一般性，設x
x3+y3+z3=u3的正整數解（部分）
一般地x+y=6m+1（m為正整數，m≥1）
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