1、已知關於x的方程，其中a、b為實數.
（1）若此方程有乙個根為2 a（a ＜0），判斷a與b的大小關係並說明理由；
（2）若對於任何實數a ，此方程都有實數根，求b的取值範圍.
答案：（1）∵ 方程有乙個根為2a ，
1分 整理，得2分
即3分（24分
∵ 對於任何實數此方程都有實數根，
∴ 對於任何實數都有≥0 ，即≥05分
∴ 對於任何實數都有b≤.
∵，當時，有最小值6分
∴ b的取值範圍是b7分
2、已知關於x的一元二次方程（）①.
（1）若方程①有乙個正實根c，且.求b的取值範圍；
（2）當時，方程①與關於x的方程②有乙個相同的非零實根，求的值.
解：（1）∵ c為方程的乙個正實根（），
∴. 1分
∵,∴，即. 2分
∵，∴.
解得． 3分
又（由，）．
∴．解得．
∴． 4分
（2）當時，此時方程①為.
設方程①與方程②的相同實根為m，
∴③∴④
④－③得.
整理，得.
∵m≠0，
∴.解得. 5分
把代入方程③得.
∴，即.
當時，. 7分
解法二：
解關於b、c的方程組 ③
④可以解得： ，可以求出．
3、已知拋物線，
（ⅰ）若，，求該拋物線與軸公共點的座標；
（ⅱ）若，且當時，拋物線與軸有且只有乙個公共點，求的取值範圍；
（ⅲ）若，且時，對應的；時，對應的，試判斷當時，拋物線與軸是否有公共點？若有，請證明你的結論；若沒有，闡述理由．
解（ⅰ）當，時，拋物線為，
方程的兩個根為，．
∴該拋物線與軸公共點的座標是和． 2分
（ⅱ）當時，拋物線為，且與軸有公共點．
對於方程，判別式≥0，有≤． 3分
①當時，由方程，解得．
此時拋物線為與軸只有乙個公共點． 4分
②當時，
時，，時，．
由已知時，該拋物線與軸有且只有乙個公共點，考慮其對稱軸為，
應有即解得．
綜上，或． 6分
（ⅲ）對於二次函式，
由已知時，；時，，
又，∴．
於是．而，∴，即．
∴． 7分
∵關於的一元二次方程的判別式
，∴拋物線與軸有兩個公共點，頂點在軸下方． 8分
又該拋物線的對稱軸，
由，，，
得，∴．
又由已知時，；時，，觀察圖象，
可知在範圍內，該拋物線與軸有兩個公共點． 10分
4、拋物線，a＞0，c＜0，．
（1）求證：；
（2）拋物線經過點，q．
① 判斷的符號；
② 若拋物線與x軸的兩個交點分別為點a，點b（點a在點b左側），請說明，．
（1）證明：∵，
1分∵ a＞0，c＜0，
∴，．2分
（2）解：∵ 拋物線經過點p，點q，
① ∵，a＞0，c＜0，
∴，．∴＜0．………3分
＞04分
5分② 由a＞0知拋物線開口向上．
∵，，∴ 點p和點q分別位於x軸下方和x軸上方．
∵ 點a，b的座標分別為a，b（點a在點b左側），
∴ 由拋物線的示意圖可知，對稱軸右側的點b的橫座標滿足．（如圖6所示6分
∵ 拋物線的對稱軸為直線，由拋物線的對稱性可，由（1）知，
∴．∴，即7分
5、已知二次函式的圖象經過點，和，反比例函式（x＞0）的圖象經過點（1，2）．
（1）求這兩個二次函式的解析式，並在給定的直角座標系中作出這兩個函式的圖象；
（2）若反比例函式（）的圖象與二次函式）的圖象在第一象限內交於點，落在兩個相鄰的正整數之間．請你觀察圖象寫出這兩個相鄰的正整數；
（3）若反比例函式（）的圖象與二次函式的圖象在第一象限內的交點為，點的橫座標滿足，試求實數的取值範圍．
解：（1）把，和分別代入
解方程組，得………………1分
∴ 拋物線解析式為…...2分
∵ 反比例函式的圖象經過點（1，2），
∴ k=23分
(2)正確的畫出二次函式和反比例函式在第一象限內的圖象4分
由圖象可知，這兩個相鄰的正整數為1與25分
(3)由函式圖象或函式性質可知：當2＜x＜3時，對y=，y隨著x的增大而增大，對y2=（k＞0），y2隨著x的增大而減小.因為a（x0,y0）為二次函式圖象與反比例函式圖象的交點，所以當x0=2時，由反比例函式圖象在二次函式的圖象上方，得y2＞y.
即＞，解得k＞56分
同理，當x0=3時，由二次函式的圖象在反比例函式圖象上方的，得y＞y2，
即＞，解得k＜18.
所以k的取值範圍為5＜k＜187分
6、已知：拋物線經過點．
（1）求的值；
（2）若，求這條拋物線的頂點座標；
（3）若，過點作直線軸，交軸於點，交拋物線於另一點，且，求這條拋物線所對應的二次函式關係式．（提示：請畫示意圖思考）
.解：（1）依題意得：，
1分（2）當時，，
拋物線的頂點座標是2分
（3）當時，拋物線對稱軸，
對稱軸在點的左側．
因為拋物線是軸對稱圖形，且．3分．
4分又，．
拋物線所對應的二次函式關係式5分
不等式證明
第四章微積分中值定理與證明 4.1 微分中值定理與證明 一基本結論 1 零點定理 若在連續，則，使得 2 最值定理 若在連續，則存在使得 其中 分別是在的最小值和最大值 3 介值定理 設在的最小值和最大值分別是，對於，都存在使得 或者 對於，都存在使得 4 費瑪定理 如果是極值點，且在可導，則 5 ...
證明不等式
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