推理與證明 2

教學過程

1、新課匯入

大家都知道大偵探福爾摩斯，神探狄仁傑，名偵探柯南這三位的名字，而且非常佩服他們破案的高招技能，他們破案過程中經常會用到推理。其實生活中我們也常有到推理，如：老師今天上課穿得特別漂亮，這節課對她一定很重要？

什麼是推理？

二、複習預習

1.合情推理與演繹推理.

2.直接證明與間接證明、數學歸納法.

三、知識講解

考點1 推理

1.模擬推理

(1).根據兩個（或兩類）物件之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為模擬推理.

(2).模擬推理的思維過程是：

2.歸納推理

(1).歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理.

(2).歸納推理的思維過程大致如圖：

(3).歸納推理的特點：

①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現象.

②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數學證明的工具.

③歸納推理是一種具有創造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發現問題和提出問題.

3.演繹推理

(1).演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。

(2).主要形式是三段論式推理.

(3).三段論式常用的格式為：

m——p （m是p） ①

s——m （s是m） ②

s——p （s是p

其中①是大前提，它提供了乙個一般性的原理；②是小前提，它指出了乙個特殊物件；③是結論，它是根據一般性原理，對特殊情況做出的判斷.

考點 2 證明

1.直接證明

(1).直接證明：是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法.

(2).綜合法就是「由因導果」，從已知條件出發，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論.

(3).分析法就是從所要證明的結論出發，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為「由果索因」.

要注意敘述的形式：要證a，只要證b，b應是a成立的充分條件. 分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開.

2.間接證明

(1).間接證明：即反證法：是指從否定的結論出發，經過邏輯推理，匯出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。

(2).反證法的一般步驟是：反設——推理——矛盾——原命題成立。（所謂矛盾是指：與假設矛盾；與數學公理、定理、公式、定義或已證明了的結論矛盾；與公認的簡單事實矛盾）。

(3).常見的「結論詞」與「反議詞」如下表：

考點3 數學歸納法

1.數學歸納法證題的步驟：

（1）（歸納奠基）證明當取第乙個值時，命題成立.

（2）（歸納遞推）假設時，命題成立，證明當時，命題也成.只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對於開始的所有正整數都成立.

四、例題精析

考點1 推理

例1 觀察下列等式：，，

，，…由此得到第個等式為

【規範解答】

第一式的第乙個數為1×3；第二式的第乙個數為2×5；第三式的第乙個數為3×7，故第n式的第乙個數為，每一式有個數，且等號右邊個，等號左邊個，故滿足條件的第個等式為.

【總結與反思】本題考查歸納推理，根據已知的條件推導要求的結論.

例2 設，將的最小值記為，則其中

【規範解答】

觀察表示式的特點可以看出當為偶數時，當為奇數時，，所以.

【總結與反思】本題考查演繹推理，根據已知的條件推導結論，難度往往比較大.

例3 現有乙個關於平面圖形的命題：如圖所示，同乙個平面內有兩個邊長都是的正方形，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為，模擬到空間，有兩個稜長均為的正方體，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．

【規範解答】

在已知的平面圖形中，中心到兩邊的距離相等(如圖1)，即，四邊形是圓內接四邊形，，因此，同樣地，模擬到空間，如圖2.兩個稜長均為的正方體重疊部分的體積為.

【總結與反思】本題考查模擬的思路，只要認真找規律就能發現規律.

考點 2 證明

例4 已知，求證：.

【規範解答】

證明　∵，所以要證原不等式成立，

只需證明，

即證，即證，

而顯然成立，

故原不等式得證.

【總結與反思】本題考查用分析法證明不等式，通過結論正確來推導已知的正確性.

例5 設，證明：.

【規範解答】

證明　∵，根據均值不等式，

有，三式相加：，

當且僅當時取等號．

即.【總結與反思】本題考查基本不等式，利用基本不等式證明最小值成立的問題.

例6 已知函式，用反證法證明沒有負根.

【規範解答】假設存在滿足，

則，又，

所以，即，與假設矛盾，

故沒有負根.

【總結與反思】本題考查用反證法證明不等式，假設結論不成立來推導與已知的矛盾.

考點3 數學歸納法

例7 在各項為正的數列中，數列的前項和滿足，

(1) 求；

(2) 由(1)猜想數列的通項公式；

(3) 求.

【規範解答】(1) 當時，，即，解得，

；當時，，即，

解得，同理可得，。

(2) 由(1)猜想。

(3).

【總結與反思】本題考查歸納總結，根據已知的條件推導要求的結論.

例8 等比數列{}的前項和為，已知對任意的，點，均在函式且均為常數)的影象上.

（1）求的值;

（11）當時，記，證明：對任意的，不等式成立.

【規範解答】（1）因為對任意的,點，均在函式且均為常數的影象上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數列,所以,公比為，通項公式為.

（2）當時，, ，則,所以，

下面用數學歸納法證明不等式成立.

當時,左邊=，右邊=,因為,所以不等式成立。

假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊.

所以當時,不等式也成立.由，可得不等式恆成立.

【總結與反思】本題考查數學歸納法，數學歸納法主要是通過當時，成立；來推導時，也成立.

課程小結

1.合情推理主要包括歸納推理和模擬推理．數學研究中，在得到乙個新的結論前，合情推理能幫助猜測和發現結論，在證明乙個數學結論之前，合情推理常常能為證明提供思路和方法．合情推理僅是符合情理的推理，他得到的結論不一定真，而演繹推理得到的結論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)，演繹推理是從一般的原理出發，推出某個特殊情況的結論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論，數學問題的證明主要通過演繹推理來進行.

2.直接證明中包括分析法和綜合法，分析法找思路，綜合寫步驟。在證明問題時，經常把綜合法和分析法結合起來使用:

根據條件的結構特點去轉化結論，得到中間結論；根據結論的結構特點去轉化條件，得到中間結論.若由可以推出成立，就可以證明結論成立；間接證明是指不是從原命題的條件中逐步推理命題成立，而是從否定命題的結論入手（即從命題的對立面），推演出矛盾，從而肯定原命題成立的證明方法.常用的間接證明方法為反證法.

3.數學歸納法證明乙個與正整數有關的命題，可按下列編制進行

（1）證明當取第乙個值時命題成立.

（2）假設當時命題成立，證明當時命題也成立

只要完成以上兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數都成立．

推理與證明 2

推理與證明

推理與證明

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