「無窮遞降法」通常用來證明乙個關於正整數的命題不成立。
「無窮遞降法」的做法是：用反證法，先假設可以找到某些正整數，使得命題成立。在這些使得成立的正整數中，一定可以找到乙個最小的正整數使得成立。
然後證明，如果成立，則必有乙個更小的正整數 ，使得也成立。這就與「 是使得成立的最小的正整數」發生矛盾，所以假設不成立，也就是說，命題是不成立的。
下面，我們用「無窮遞降法」來證明這樣乙個命題：
命題沒有正整數解。
證假如有正整數解，那麼也一定有正整數解，所以，要證明沒有正整數解，只要證明沒有正整數解就可以了。
下面用「無窮遞降法」來證明：
假設有正整數解，那麼，在這些正整數解中，一定可以找到一組解
、、，使得 ，而且其中的是各組解的中最小的乙個。
顯然、沒有大於1的公約數。因為，假如有公約數 ，則有
，可見、、是的另一組正整數解，而且 ，這就與「是各組解的中最小的乙個」發生矛盾，所以不可能有大於1的公約數。
由於、沒有大於1的公約數，所以、也沒有大於1的公約數。由於
，可見、、是一組互素的勾股數。
根據「勾股數公式」，這時必有互素的正整數、使得（不妨設是奇數）
， ， 。由於，
而且與沒有大於1的公約數（假如與有公約數 ，則也應該有約數 ，這就與、互素發生矛盾），可見、、是一組互素的勾股數。
根據「勾股數公式」，這時必有互素的正整數、使得（前面已設是奇數）
， ， 。
這時有。 因為、互素，所以、、兩兩之間都沒有大於1的公約數，而它們的乘積卻是乙個完全平方數，可見、、三個數本身都必須是完全平方數，即一定有正整數、、，使得
， ， 。
這樣，就有
，可見、、是的一組解。而且有
，這就與「是各組解的中最小的乙個」發生矛盾，所以假設「有正整數解」不成立。由此可見，「有正整數解」也不成立。
用三證之前的注意事項
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