２０１５年第３期河北理科教學研究問題討論
廣東省東莞市沙田廣榮中學
**波５２３９９１
本文先介紹乙個證明不等式成立的充分條件模型，然後根據模型分析出要證明高考
題中的不等式所需要構造的模板不等式，然後用積分法求某些圖形面積證明所構造的模板不等式成立．
充分條件模型：要解答（或證明）形如或
≤）ｇ（ｎ）的函式與不等式綜合題成立的充分條件是證明不等式ｆ（ｋ）＞（≥、＜或≤）ｇ（ｋ）一ｇ（ｋ一１）且ｆ（１）（≥、＜或
≤）ｇ（１）成立．
例１（２０１４年陝西高考理科壓軸題）設函式
≥０，其中廠（）是／（）的導函式．（ｉ）令
ｎ＋，求ｇ （）的表示式；（ⅱ）已知－廠（）≥ａｇ（）恆成立，求實數ａ的取值範圍；（ⅲ）設ｎ∈ｎ ，比較與ｎ—ｆ（ｎ）的大小，並加以證明．
答案：（工）ｇ （）＝
；（ⅱ）（一∞，１］；（ｍ）分析『．』ｇ（）：，．
．專＋專＋…ｎ，１
１１、＋元因此，根據模型只需比較與ｎ—ｆ（ｎ）
的大小，即只需比較 １＋了１＋…＋①１６
與ｉｎ（１＋ｎ）的大小
根據充分條
件模型：令ｆ（ｋ）一＝
１上 ，ｋ，
＼ｇ（ｋ）＝／一
ｉｎｋ，現比較ｆ（ｋ）
與ｇ（ｋ）一ｇ（ｋ一
一ｉｎｋ的大小，即比圖１
較與ｉｎ（１＋ ）一ｌｎｋ的大小．在①中
是自然數的倒數和，可以聯想到反比例函式
ｙ＝｛（如圖１，是凹函式）．根據圖形可知，
矩形ａｂｃｄ、梯形ａｂｃｆ、曲邊梯形ａｂｃｆ和
矩形ａｂｅｆ四者面積的大小具有如下的關係；．ｓ矩形 ｃｄ ＜曲邊梯形曰ｃｆ ＜ ｉｓ梯形ａ曰ｃｆ＜
ｓ矩形肼（這裡曲邊形ａｂｃｆ是指由雙曲線弧段ｃｆ與直線ａｆ、ｂｃ和軸圍成的圖形）．其中ａｆ＝ １，
ｂｃ＝，ａｂ＝１．而曲邊梯
形的面積是譬＿ｌｊｋｎｌ矗１＿ｌｎ１）
一ｌｎ ，ｊｓ曲邊梯形肼＝『
＋ １），
即構造了不等式＜ｌｎ（ｋ＋１）一ｌｎｋ＜
『＋去）＜１②．②是根據面積推導
出來的不等式，因此叫面積不等式．這個不等
式是用證明含自然對數不等式成立的鶯要根
２０１５年第３期河北理科教學研究
問題討論
據，買際上包含兒不等式，我們口ｊ以根據讓題
需要選取其中乙個．這樣就證明了＜兒
十１ｉｎ（＋１）一ｉｎｋ③．
證明：根據不等式②有＜ｉｎ（＋
１）一ｌｎｋ③成立．在③式中分別令 ＝１，２，
…得：１＜ｌｎ２一，
ｌｎ１，｛＜ｌｎ３一ｌｎ２，…，
＜ｉｎ（ｎ＋１）一ｌｎｎ，將以上各不等式左
右兩邊相加得：１＋ １＋…＋
＜ｌｎ２
一ｌｎｌ＋ｌｎ３一一ｉｎｎ＝ｌｎ（ｎ
＋１）．１＋了成
立 ．ｎ一（ｎ一＋了＋…＋＋吉＋…＋））＝（一１）一，１
＋（１一了１）＋…＋（１
一）＝ １＋了２＋…＋—
即…＋ｇ（凡）＞ｎ—ｆ（ｎ）．
例２（２０１０年湖北高考理科壓軸題）已知函式的圖象在點（１，／（１））處的切線方程為ｙ：一１．（工）用ａ表示出ｂ，ｃ（ⅱ）若 （）≥ｉｎｘ在［１，＋。。）上恆成立，求ａ的範圍；（ⅲ）證明：
１＋ １１＋
（ｎ≥１）．
答案：（ｉ）ｂ：ａ一１．ｃ：１—２口（１ｉ）ａ１≥
（ｉｌ１）分析：令ｆ（）＝ １．
，ｇ（．ｊ｝）＝
ｌｎ（＋１）＋，只需證ｆ（）＝ １＞
ｇ（）一ｖ（ｋ一一
ｌｎ後一
＝ｌｎ（＋１）一ｌｎ ＋ １
一＞０，即只需證ｆ（）一ｅｇ（ｋ）一
ｇ（ｋ一１）］＝ １
１ｎ（十１）＋ｌｎ 一 １＋—１
＝ｌｉ十ｉ１十
）一一一
＋一ｌｎ］＞ｏ，即只需證 （去＋）＞［１ｎ（
＋１）一ｌｎｋ］④成立，由不等式②可知不等式④成立，這樣就構造了不等式ｆ（）＞ｇ（）
一ｇ（ｋ一１）成立．
證明：根據不等式②有ｉ１＋）
＞［ｉｎ（後＋１）一ｌｎｋ］④，在④中分別令 ＝ｌ，２，…，ｎ得
ｌｎ１，１１
一＋）＞ｌｎ３一ｌｎ２，１了１＋ １）＞ｌｎ４
一ｌｎ３，…，
吉將以上各不等式的兩邊相加得：吉（１＋１）＋１１十
１）十 １１十 １）十…十 １（１＋
１）＞ｌｎ２
一ｌｎ１＋ｌｎ３一ｌｎ２十…十ｌｎ（ｎ＋
１）一ｌｎ凡
）一 １＋一＋
＞ｌ＞ｌｎｌ ｎ＋
ｎ（ｎ＋
１），即１＋＋吉
（≥１）成立１７
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