第２４卷第４期２０１０年７月
甘肅聯合大學學報（自然科學版）
ｊｕ１．２０１０
文章編號
基於ｍａｔｌａｂ的復合梯形數值積分法的研究與實驗
劉小偉（江西教育學院數學與電腦科學系。江西南昌３３００２９）
摘要：介紹了有關數值求積公式的定義和復合梯形求積法的基本原理，給出了實現復合梯形求積法的ｍａｔ－
ｌａｂ原始檔，並結合幾個算例驗證了復合梯形求積法的基本原理．供相關工程技術人員和科學研究者在利用
復合梯形求積法解決那些用微積分方法所不能求解的積分問題時作參考．
關鍵詞：求積公式；梯形求積；復合梯形求積法；ｍａｔｌａｂ；數學實驗
中圖分類號：ｏ２４１．４
文獻標識碼：ａ
ｏ引言１．１ 幾個定義與定理
如文獻［１］中所述，按微積分基本定理，只要定義１嘲把形如ｌ廠
提供被積函式廠（ｚ）的原函式ｆ（ｚ），（ｚ）一廠（ｚ），
稱為機械求積公式，其中ｘ 稱為求積節點，ａ 稱便有下列求積公式
為求積係數；若
ｒ６ｉ廠一ｆ（口）．
√ａａ 一ｆ
不過在工程技術和科學研究中，如文獻ｅ２］中所述，常常遇到如下情況：廠（ｚ）的結構複雜，求原
嗇三一卜１）（篆ｚｉ—抖１）…（ｚｉ—）…
函式ｆ（ｚ）困難；廠（ｚ）的原函式ｆ（ｚ）不能用初等其中則機械求積公函式表示；，（ｚ）的精確表示式不知道，只給出了
式也稱為插值型求積公式．
一張由實驗提供的函式表，則其原函式ｆ（）沒
有意義．如婦，
定義２［。￣ｒｅｆ］一ｌｏ， ）ｄｘ一∑ａ￣ｆ（ｘｔ）
， ｅ，
，志志ｄｚ等．
為機械求積公式的餘項；稱ｒ［，］＝愛芊 。
（ｘ）ｄｘ為插值型求積公式的餘項，其中，
（）＝面對這些微積分方法求積分的侷限性情況，
（ｊｃ一．ｔｏ）—ｘ１）…一 ），ｅ∈（口，６）．
要計算積分的準確值都是十分困難的，這就要求定義３ｃ。若機械求積公式對任意不高於次建立積分的近似計算方法，從而導致了所謂機械的代數多項式都準確地成立，而對於州卻不能準
求積方法的提出．例如土地管理資訊系統的圖斑確地成立，則稱該機械求積公式的代數精度為鞏
面積求算的梯形法求積公式和辛普森求積公式都定理ｌ啪含有，ｌ＋１個節點ｘ （忌＝０，１，…，是基於解析幾何、使用面積元法推算出來的公式．
）的插值型求積公式的代數精度至少為 ．
但是單獨的梯形公式是不會被用來作為數值積分定義４若積分區間［口，６］的等分數 —ｌ
方法的，從而演化出了復合梯形求積法和變步長
的梯形積分方法．本文主要是研究復合梯形求積時，有兩點公式ｆ，（ｚ）婦≈［廠（口）＋，（６）］，
法的原理及其ｍａｔｌａｂ實現的問題．
把該公式稱為梯形求積公式．
１數學理論
定理２［。若 （ｚ）在［口，６］上連續，則梯形求積公式的餘項為ｒ。［，］＝一（６一口）。廠（）／１２，
收稿日期：２００９一ｌｌ一１２．
**專案：江西省高等學校教學研究省級立項課題（編號階段性成果．
作者簡介：劉小偉（１９７８一），男，江西吉安人，江西教育學院講師，主要從事計算機**實驗，計算機硬體設計，數字水印，無線通訊與網路研究．
第４期劉小偉：基於ｍａｔｌａｂ的復合梯形數值積分法的研究與實驗２１
其中 ∈［口，６］．
１．２復合梯形求積法
如文獻ｅ４］中所述，給定積分問題ｙ—
ｉｆ（ｘ）ｄｘ，可以把區間ｅａ，６］分為個相等的子
區間，在每個子區間上使用梯形公式得到
ｙｌ—一 ［廠（ｘｉ）＋廠（ｚ鬥。）］一
（ｅ），∈［ｚ ，計 ］．
於是有，
：ｆｄ一奎ｆｘｉ＋ｌ
＝ｉ＝１
魯奎ｉ＝１
篙廠（如果／（）在區間［口，上連續，則開區間內必然
存在一點 ，使得
告∑ （８）一 （
從而有ｙ一圳ｚ—ｆｄ一奎一
騫一奎ｉ＝１ｈ３，（８）一
，（口）＋，（６）＋２詈 ＋／ｈ）］一謄代）．於是近似的解為
ｙ—一ｉｆｆ（ｘ）ｄｘ≈妻ｅ≈詈ｆ（ａ）＋廠（＋廠（６）＋
一ｂ－－ａ．
根據以上介紹的復合梯形的基本計算方法可知，如果積分區間劃分比較稠密，則計算結果相對可靠一些．
２數學實驗平台
如文獻［５］中所述，在這裡我們選用ｍａｔ—ｌａｂ構建數學實驗平台，下面簡要介紹ｍａｔ－ｌａｂ的功能及發展歷程、語言特點和積分函式．
的功能及發展歷程
如文獻［６］中所述，ｍａｔｌａｂ是矩陣實驗室之意，除具備卓越的數值計算能力外，它還提供了專業水平的符號計算，文書處理，視覺化建模**和實時控制等功能．１９８０年，美國新墨西哥大學電腦科學系主任ｃｌｅｖｅ著手編寫供學生使用的子程式介面程式，取名為
年，推出了ｍａｔｌａｂ第乙個商業版本；１９９２年，推出ｍａｔ
４．０版；１９９７年，推
出版；２０００年，推出ｍａｔ
６．０版；２００４年，推出版；２００８年，推出
版．的語言特點
如文獻ｅｔ］中所述，我們之所以選擇ｍａｔ—ｌａｂ作為實驗平台是因為它具有如下語言特點：
（１）語言簡潔緊湊，使用方便靈活，庫函式極其豐富；（２）運算子豐富既具有結構化
的控制語句，又有物件導向程式設計的特性；（４）程式限制不嚴格，程式設計自由度大；（５）程式的可移植性很好的圖形功能強大；（７）功
能強大的工具箱．
積分函式
如文獻ｅ８］中所述，ｍａｔｌａｂ提供了一些積分函式供使用者使用．如符號積分函式ｉｎｔ（ｆ，）函式，對變數求不定積分函式廠對變數求從ａ到ｂ的定積分．
３ 數學試驗
３．１ 算例內容及資料**
以ｍａｔｌａｂ軟體為平台，利用復合梯形求
ｒ２積法計算積分要求先用分
ｊ－－２
析方法給出計算結果，然後分別把區間分為１ｏ、
和５０００個小區間，比較計算精度情況．
３．２演算法設計的ｍａｔｌａｂ檔案
３．２．１ 編寫方法函式開啟ｍａｔｌａｂ的ｅｄｉ－
ｔｏｒ編輯器，輸入以下語句，以檔名ｔｘ．ｉｔｉ儲存．
ｈ一（ｂ—ａ）／ｎ；ｓ一０；
一１）ｅｎｄ
ｓ一３．２．２編寫函式檔案開啟ｍａｔｌｍ３的ｅｄｉｔｏｒ
編輯器，輸入以下語句，以檔名ｌｔｄ．ｍ儲存．
ｔｘ（ｘ）
ｆ一３．２．３ 編寫主函式開啟ｍａｔｌ的ｅｄｉｔｏｒ編
輯器，輸入以下語句，以檔名ｔｘ＿ｍａｉｎ．ｍ儲存．［１ｉｓｐ（１０子區間數值積分為
２２甘肅聯合大學學報（自然科學版）第２４卷
ｄｉｓｐ（２ｏ子區間數值積分為子區間數值積分為
如、ｉｅ－－ｄｘ和：；圭ｄｘ，結果分析如表２、表３、表
ｊ １ ｚ
ｊ ２ ｉｉ「
ｄｉｓｐ（８ｏ子區間數值積分為子區間數值積分為 ）；ｓ一
２，ｉｏｏ）
４和表５，從而驗證了復合梯形求積法的積分原
理，而且更加證明了區間劃分越細積分精度越高、積分結果越接近於真實值的正確性．
表１復合梯形法計算
．ｄｉｓｐ（ １６０子區間數值積分為 ）；ｓ一
２，１６０）
。真實值為１６）
ｄｉｓｐ（ ２００子區間數值積分為 ）；ｓ＿２００一ｔｘ（一２，
２，２００）
ｄｉｓｐ（ ３２０子區間數值積分為一２，
２，３２０）
ｄｉｓｐ（４００子區間數值積分為一２，
２，４００）
ｄｉｓｐ（８００子區間數值積分為 ）；ｓ＿８００一ｔｘ（一２，
２。８００）
ｄｉｓｐ（１０００子區間數值積分為 ）；ｓ一１０００＝ｔｘ（一
２，２，１０００）
子區間數值積分為一
２，２，５０００）
採用符號法計算出積分的嚴格結果
ｄｉｓｐ（真實結果為
（ｘ），一２，２）
ｔｏｌ＝［ｓ＿１０一ｓ；ｓ一２ｏ—ｓ；ｓ一４０一ｓ；ｓ一一
ｓ；ｓ＿１６０一ｓ；ｓ＿
２００一ｓ；ｓ＿
３２０一ｓ；
ｓ＿４００一ｓ；ｓ＿
８００一ｓ；ｓ
＿１００一ｓ；ｓ＿５０００一一ｓ］
ｘ＝一一
曲線ｙ一
ｏｎ３．３實驗結論
為了便於分析問題，這裡把區間劃分情況與積分結果分別輸出，同時還給出了與真實結果的誤差，資料見表１．從表中也可以粗略的看出，區間劃分越細積分精度越高．本實驗的積分幾何意義為圖１中ｚ軸以上的陰影部分面積減ｚ軸以下
區域的陰影部分面積．
４其他算例
參照上述的復合梯形求積法的ｍａｔｌａｂ實
現演算法檔案，計算定積分２韭如
、ｊ １
ｘｊ １ｆ。—
ｃｏｓ—（ｘ）
曲怠『寫＞『ｌ
ｖａｒｉａｂｌｅｘ
ｒ２圖１定積分的幾何意義
ｊ－－ｚ
表２復合梯形法計算真實值為
劃分積分
誤劃分積分誤度結果差度
結果差一一ｏ．３ｏ３ｅ一一一一ｏ．７０１ｅ一一７
一一一一７
一一７表３復合梯形法計算塑
ｄ （真實值為
劃分積分誤劃分積分
誤度結果差度
結果差一一一一６
一一６一一一一一一ｏ．６８９ｅ一９
第４期劉小偉：基於ｍａｔｌａｂ的復合梯形數值積分法的研究與實驗２３
表４復合梯形法計算 ｝ｄｚ（真實值為
５結束語
根據復合梯形求積法的基本原理，本文利用
ｍａｔｌａｂ軟體提出了一種數值積分演算法，使復合梯形求積法能夠基於ｍａｔｌａｂ得以實現，可以求解那些利用微積分方法所不能求解的積分問題，從而驗證了復合梯形求積法的原理．但所不足
表５復合梯形法計算ｉ，－ｘ－ｚｄｘ（真實值為的是復合梯形法卻不能估計積分精度．要想控制ｊ ２ ｌｎｘ
＿積分精度，可以採用變步長的梯形求積方法．參考文獻：
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ｅ４３朱葉志．ｍａｔｌａｂ數值分析與應用［ｍ３．北京：機械
莒工業出版社，２００９．
＞ｅ５３劉小偉，盧昕．在高職高專開展數學實驗教學的研究
ｖａｆｆａｂｌｅｘ
ｖａｆａｂｌｅｘ
ｅｊ３．甘肅聯合大學學報；自然科學版
８９－９２．
ｅ６－１胡守信．基於ｍａｔｌａｂ的數學實驗ｅｍ３．北京：科學
出版社，２００４．
昌１－７３李秀珍．數學實驗ｉ－ｍ］．北京：機械工業出版社，２００８．＞
ｅ８３王正林．精通ｍａｔｌａｂ科學計算ｅｍ３．北京：電子工
ｖａｆａｂｌｅｘ
ｖａｒｉａｂｌｅｘ
業出版社，２００７．
ｉ１ｔ２定積分ｒｊ１工ｃｌｒ、ｊ１ｆｘ如、
手出和志如的幾何意義
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