6.1 插值問題及其誤差
6.1.2 與插值有關的matlab 函式
(一) poly2sym 函式
呼叫格式一：poly2sym (c)
呼叫格式二：f1=poly2sym(c,'v') 或 f2=poly2sym(c, sym ('v') ),
(二) polyval 函式
呼叫格式：y = polyval(p,x)
(三) poly 函式
呼叫格式：y = poly (v)
(四) conv 函式
呼叫格式：c =conv (a, b)
例 6.1.2 求三個一次多項式、和的積.它們的零點分別依次為0.4,0.8,1.2.
解我們可以用兩種matlab程式求之.
方法1 如輸入matlab程式
>> x1=[0.4,0.8,1.2]; l1=poly(x1), l1=poly2sym (l1)
執行後輸出結果為
l1 =
1.0000 -2.4000 1.7600 -0.3840
l1 =
x^3-12/5*x^2+44/25*x-48/125
方法2 如輸入matlab程式
>> p1=poly(0.4);p2=poly(0.8);p3=poly(1.2);
c =conv (conv (p1, p2), p3) , l1=poly2sym (c)
執行後輸出的結果與方法1相同.
(五) deconv 函式
呼叫格式：[q,r] =deconv (b,a)
(六) roots(poly(1:n))命令
呼叫格式：roots(poly(1:n))
(七) det(a*eye(size (a)) - a)命令
呼叫格式：b=det(a*eye(size (a)) - a)
6.2 拉格朗日（lagrange）插值及其matlab程式
6.2.1 線性插值及其matlab程式
例6.2.1 已知函式在上具有二階連續導數，，且滿足條件.求線性插值多項式和函式值，並估計其誤差.
解輸入程式
>> x=[1,3];y=[1,2]; l01= poly(x(2))/( x(1)- x(2)), l11= poly(x(1))/( x(2)- x(1)), l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11), p = l01* y(1)+ l11* y(2),
l=poly2sym (p),x=1.5; y = polyval(p,x)
執行後輸出基函式l0和l1及其插值多項式的係數向量p（略）、插值多項式l和插值y為
l0l1ly =
-1/2*x+3/2 1/2*x-1/2 1/2*x+1/2 1.2500
輸入程式
>> m=5;r1=m*abs((x-x(1))* (x-x(2)))/2
執行後輸出誤差限為
r1 =
1.8750
例6.2.2 求函式e在上線性插值多項式，並估計其誤差.
解輸入程式
>> x=[0,1]; y =exp(-x) ,
l01= poly(x(2))/( x(1)- x(2)),
l11= poly(x(1))/( x(2)- x(1)), l0=poly2sym (l01),
l1=poly2sym (l11), p = l01* y(1)+ l11* y(2), l=poly2sym (p),
執行後輸出基函式l0和l1及其插值多項式的係數向量p和插值多項式l為
l0l1p =
-x+1 x0.6321 1.0000
l =-1423408956596761/2251799813685248*x+1
輸入程式
>> m=1;x=0:0.001:1; r1=m*max(abs((x-x(1)).*(x-x(2))))./2
執行後輸出誤差限為
r1 =
0.1250.
6.2.2 拋物線插值及其matlab程式
例6.2.3 求將區間 [0, π/2] 分成等份，用產生個節點，然後根據（6.
9）和（6.13）式分別作線性插值函式和拋物線插值函式.用它們分別計算cos (π/6) (取四位有效數字)，並估計其誤差.
解輸入程式
>> x=[0,pi/2]; y =cos(x) ,
l01= poly(x(2))/( x(1)- x(2)),
l11= poly(x(1))/( x(2)- x(1)), l0=poly2sym (l01),
l1=poly2sym (l11),
p = l01* y(1)+ l11* y(2), l=poly2sym (p),x=pi/6;
y = polyval(p,x)
執行後輸出基函式l0和l1及其插值多項式的係數向量p、插值多項式和插值為
l0 =
-5734161139222659/9007199254740992*x+1
l1 =
5734161139222659/9007199254740992*x
p =-0.6366 1.0000
l =-5734161139222659/9007199254740992*x+1
y =0.6667
輸入程式
>> m=1;x=pi/6; r1=m*abs((x-x(1))*(x-x(2)))/2
執行後輸出誤差限為
r1 =
0.2742.
（2） 輸入程式
>> x=0:pi/4:pi/2; y =cos(x) ,
l01= conv (poly(x(2)),
poly(x(3)))/(( x(1)- x(2))* ( x(1)- x(3))),
l11= conv (poly(x(1)),
poly(x(3)))/(( x(2)- x(1))* ( x(2)- x(3))),
l21= conv (poly(x(1)),
poly(x(2)))/(( x(3)- x(1))* ( x(3)- x(2))),
l0=poly2sym (l01),l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21),
p = l01* y(1)+ l11* y(2) + l21* y(3), l=poly2sym (p),x=pi/6; y = polyval(p,x)
執行後輸出基函式l01、l11和l21及其插值多項式的係數向量p、插值多項式l和插值y為
l0 =
l1 =
l2 =
p =-0.3357 -0.1092 1.0000
y = 0.8508
輸入程式
>> m=1;x=pi/6; r2=m*abs((x-x(1))*(x-x(2)) *(x-x(3)))/6
執行後輸出誤差限為
r2 =
0.0239.
6.2.3 次拉格朗日（lagrange）插值及其matlab程式
例6.2.4 給出節點資料，，，，作三次拉格朗日插值多項式計算，並估計其誤差.
解輸入程式
>> x=[-2,0,1,2]; y =[17,1,2,17];
p1=poly(x(1)); p2=poly(x(2));
p3=poly(x(3)); p4=poly(x(4));
l01= conv ( conv (p2, p3), p4)/(( x(1)- x(2))* ( x(1)- x(3)) * ( x(1)- x(4))),
l11= conv ( conv (p1, p3), p4)/(( x(2)- x(1))* ( x(2)- x(3)) * ( x(2)- x(4))),
l21= conv ( conv (p1, p2), p4)/(( x(3)- x(1))* ( x(3)- x(2)) * ( x(3)- x(4))),
l31= conv ( conv (p1, p2), p3)/(( x(4)- x(1))* ( x(4)- x(2)) * ( x(4)- x(3))),
l0=poly2sym (l01),
l1=poly2sym (l11),l2=poly2sym (l21), l3=poly2sym (l31),
p = l01* y(1)+ l11* y(2) + l21* y(3) + l31* y(4),
執行後輸出基函式l0，l1，l2和l3及其插值多項式的係數向量p（略）為
l0 =
-1/24*x^3+1/8*x^2-1/12*x，l1 =1/4*x^3-1/4*x^2-x+1
l2 =
-1/3*x^3+4/3*x，l3 =1/8*x^3+1/8*x^2-1/4*x
輸入程式
>> l=poly2sym (p),x=0.6; y = polyval(p,x)
執行後輸出插值多項式和插值為
ly =
x^3+4*x^2-4*x+10.2560.
輸入程式
>> syms m; x=0.6;
r3=m*abs((x-x(1))*(x-x(2)) *(x-x(3)) *(x-x(4)))/24
執行後輸出誤差限為
r3 =
91/2500*m
即r3， .
6.2.5 拉格朗日多項式和基函式的matlab程式
求拉格朗日插值多項式和基函式的matlab主程式
function [c, l,l1,l]=lagran1(x,y)
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