插值與擬合
我們能夠運用這個公式直接得到給定函式f(x)的近似多項式估計，沒有必要採取拉格朗日或牛頓多項式。給定乙個函式、多項式次數以及區間的左右邊界點，上面提到的matlab程式「cheby()」可以利用這個公式得到切比雪夫近似多項式。
以下的例子闡述了利用這個公式得到的相同的近似多項式，也可以利用切比雪夫節點的牛頓多項式得到。
例3.1．切比雪夫多項式近似值。考慮找到函式
的二階多項式估計。寫出以下程式「do_這個程式運用了matlab程式「cheby()」解決這個問題，並且運用了切比雪夫節點的牛頓或拉格朗日多項式來解決相同的問題，讀者可以執行這個程式，檢查結果是否相同。
3.4 有理函式偏微分方程近似解
偏微分方程設法利用函式
（3.4.1）
其中m=n或m＝n＋1
其中是已知的，在周圍逼近函式f(x)。
怎樣找到這個有理函式呢？我們寫出f(x)在處m+n階泰勒連續展開式如下：
為了方便起見，假設＝0，通過解方程組
（3.4.4a）（3.4.4b）
得到係數的關係如下：
3.4.3）
這裡，必須先解出方程組（3.4.4b）中的再代入方程組（3.4.4a）從而得到
matlab程式「padeap()」執行方案來找到乙個給定函式f(x)的向量係數的分式多項式偏微分方程近似值。有以下幾點說明：
1、可以通過「difapx()」程式計算，這個程式將在5.3節介紹。
2、為了計算偏微分方程的近似函式值，在假設＝0情況下，已經得到，再將代替x。
例3.2．的偏微分方程近似解。讓我們找到在＝0周圍的偏微分方程近似解。我們先做出「do_程式
得到以下**的結果：
圖3.6的偏微分方程近似估計與泰勒連續展開式
首先，寫出在x＝0處m+n=5階泰勒連續展開式如下：
e3.2.1）
係數為：
e3.2.2）
將其代入方程組（3.4.4b）（m＝3，n＝2），解出，從而得到
e3.2.3）
再將上式代入方程組（得：
e3.2.5）
這樣，就能夠寫出偏微分方程近似函式
e3.2.5）
3.5三次樣條插值
對於給定的n＋1個節點，如果我們利用拉格朗日或牛頓多項式插值，那麼多項式通常是n次並且有n－1個區域性極值（極大或極小）。這樣，就會出現原始的擺動或震動（被成為多項式震動），尤其是在區間的末端，當多項式次數以及節點的數量增加時，這在圖3.2中可以看出。
乙個分段式線性逼近是怎樣對每個子區間進行單獨的多項式估計？乙個線性插值是怎樣進行曲線擬合的？其實很簡單，但不夠光滑。
甚至對於乙個二次多項式，這個分段式二次曲線看起來都不夠光滑，因為二次多項式在相鄰的子區間內的二階導數相互不一致。在現實世界裡，有許多合理的連續的二階導數。例如，在cad/cam、計算機**以及遙控軌道方案都要要求二階插值的光滑性。
這就是為什麼我們採取分段式三次曲線，它是由每個區間的三次多項式構造出來的，這就被稱為三次樣條插值。
對於一組給定的節點，三次樣條函式s(x)由n個三次多項式組成，它們在每個子區間滿足以下條件：
（s0）
（s1）
（s2）
（s3）
（s4）
這些條件相當於n＋1＋3（n－1）＝4n－2個線性方程組，有n個三次多項式的4n個未知係數。
表3.4 三次樣條函式的邊界條件
為了解方程組，我們需要另外兩個方程組，這兩個方程組應該來自邊界條件。
從（s1）中可得到，代入（s2）－（s4）消除，從而構造出乙個n＋1個未知變數的方程組。為了做到這一點，我們用表示每個區間長度，將（s0）代入（s4）中得：
3.5.1a）
3.5.1b）
將這些方程組組代入（s2）中，並且將k＋1代替k得：
消除，整理得：
3.5.2a）
3.5.2b）
我們同時將（3.5.1b）代入（s3）得：
整理得：
3.5.3）
為了消除（3.5.2）中的，用（3.5.2a）減去（3.5.2b）得：
然後將（3.5.3）代入其中得：
(3.5.4)
其中k=1:n-1
由於這是關於n＋1個變數，有n－1個方程的方程組，我們需要另加兩個方程。當k＝0時，寫出（3.5.2a）：
3.5.5a)
同樣寫出當k=n時的（3.5.2b）：
並將（3.5.3）（k=n）代入上式得：
3.5.5b)
方程（3.5.5a）和（3.5.5b）就是我們所需要的另外兩個方程。此時，邊界點處二階導數在表3.4中已給出，和從邊界條件中可直接得到如下：
3.5.6)
隨後，我們只有n－1個未知變數。在邊界點處的二階導數如下：
這樣，我們立刻可以將其轉化為關於和方程如下：
3.5.7a)
3.5.7b)
我們將其寫成矩陣形式：
(3.5.8)
再將其代入（s1），（3.5.2）和（3.5.1）得到：
(3.5.9)
matlab程式「cspline()」構造方程組（3.5.8），解這個方程組得到已給定的節點（x，y）座標和邊界條件的三次樣條係數，用mkpp()程式得到分段式多項式表示式，然後利用ppval()程式得到關於分段式函式值。
例3.3．三次樣條.考慮在n＋1＝4個節點
滿足邊界條件：
的三次樣條插值，當時，有
寫出方程組（3.5.8）：
e3.3.4)
解這個方程組得：
代入（3.5.9）得：
最後寫出（s0）中所有的三次樣條函式如下：
我們寫出並執行程式「do_它利用了「cspline()」程式來計算三次樣條係數，並得到關於的三次樣條函式值，結果如圖3.7所示。我們也可以將這個結果與運用matlab建立函式「spline(x,y,xi)」算出的結果相比較。
3.6埃爾公尺特插值多項式
在一些情況下，我們需要得到的多項式函式不但要通過給定的節點，而且在每個節點有指定的導數，這種多項式被成為埃爾公尺特插值多項式或密切多項式。
為了方便起見，考慮三次多項式
相應通過兩個節點，並且在這兩個點處存在指定的導數。通過解方程組：
得到四個係數。另外一種方法，通過它們的微分
近似得到它們的導數，並找到拉格朗日或牛頓多項式相互匹配的四個節點
matlab程式「hermit()」構造方程組（3.6.2），並解這個方程組得到給定兩個節點的區間的埃爾公尺特插值多項式係數和節點處的導數。
下乙個程式「hermits()」是利用「hermit()」得到多個子區間的埃爾公尺特插值多項式係數。
例3.4．埃爾公尺特插值多項式。給定四個節點
以及節點處的導數
對於這個問題，我們只需要matlab命令視窗裡輸入以下語句即可。
3.7二維插值
在這章節我們討論最簡單的二維插值，這個廣義的分段式線性插值叫做雙線性插值。對節點（x，y）在以和為
圖3.8運用zi = interp2()進行的二維插值
左右結點的矩形區域內做雙線性插值如下式所示：
3.7.1a)
3.7.1b)
(3.7.2)
這個公式是被運用到matlab程式「intrp2()」（這樣命名是為了區別程式「interp2()」）。在圖3.8中，在給定的網格點（x（m），y（n））的值和中間點（xi(m),yi(n)）的插值分別儲存在z(n,m)和zi(n,m).
例3.5．二維線性插值。給定函式
在5×5和21×21區域內二維插值。
我們寫出matlab程式「do_與matlab建立的程式「interp2()」相比較，並計算出相對誤差。結果如圖3.9所示：
（a）正確的函式 （b）網格外的函式 （c）雙線性插值
圖3.9二維插值
3.8曲線擬合
當有許多可用的樣點，我們通常需要在函式y＝f(x)形式下抓住兩個變數之間的關係或描述資料點的趨勢。但, 依照被提及在3.1，多項式方法會遇到多項不穩定現象，而達不到近似估計的目的。
雖然三次樣條插值可以達到預期目的，但是它有許多引數，似乎不是乙個尋找變數之間關係和描述節點趨勢的有效方法，因為每個子區間需要四個係數。那麼我們還有什麼其他的選擇呢？我們知道許多資料是存在誤差的，我們不需要設法找到乙個函式精確的通過每個節點，我們只需要找到節點的逼近函式能夠使誤差最小即可，這就叫做曲線擬合。
作為乙個合理的方法，我們考慮最小二乘法來接近最小平方和誤差，這些誤差可由節點到曲線的垂直距離表示。這章節我們將介紹各種型別的曲線擬合。
3.8.1一次多項式函式的直線擬合
如果我們認為的兩個變數之間有關係
存在理論基礎，我們應該通過收集資料來建立以下方程關係：
我們利用最小二乘法得到：
最小化函式：
有時候，我們知道誤差範圍的資訊，可以通過衡量它們的精確度來區別每個資料。這種方案可以通過最小二乘法的權
來執行。最小化的權函式如下：
如果權矩陣是，可以寫出最小二乘方的權：
其中可以通過matlab建立程式「lscov(a,y,v)」的得到。
3.8.2高次多項式曲線擬合
如果不限制多項式擬合的次數，我們可以通過增加多項式擬合次數來減少誤差的期望。我們仍然可以運用方程（3.8.4）或（3.8.6），不過重新給a和定義如下：
matlab程式「polyfits()」執行最小二乘方權法和最小二乘法，找到給定節點的多項式擬合係數，這取決於權矩陣w的對角線元素向量（r）是否已經給定輸入變元。對於對角矩陣w，最小二乘加權法用資訊矩陣a的每行和權矩陣w的相對應的向量y來證明最小二乘法。下面的例子中可以看到其用法。
基於 MATLAB 的函式的插值方法
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基於matlab的連桿機構設計
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基於MATLAB的影象平滑演算法實現及應用
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