知識點二：三角形的內角和定理及其證明
三角形內角和等於180°
分析：要證明這一結論，就要利用化歸思想，考慮一下前面學過的與180°相關的結論：①平角 ②鄰補角 ③兩直線平行同旁內角互補。故可以從三個方向考慮。
①構造平角
證法一：如圖27-1-6,過點a作直線mn∥bc,
∴∠1=∠b ∠2＝∠c
又∵∠1＋∠bac＋∠2＝∠man＝180°
∴∠bac＋∠b＋∠c＝180°
②鄰補角
證法二：如圖27-1-7，過bc上一點，d作df∥ac交ab於點f,作de∥ab交ac於e,則∠1＝∠c，∠2＝∠b,∠3＝∠4＝∠a,
∴∠a＋∠b＋∠c＝∠1＋∠2＋∠3＝180°
③兩直線平行同旁內角互補
證法三：如圖27-1-8過c點作射線cd∥ab,
∴∠1＝∠a，∠b＋∠bca＋∠1＝180°
∴∠b＋∠bca＋∠a＝180°
由「三角形內角和」定理，還可得到以下結論：
⑴n邊形的內角和等於（n－2）×180°；任意多邊形的外角和等於360°
⑵三角形的乙個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和。
⑶直角三角形的兩個銳角互餘。
例1、 用下列方法探索n邊形內角和如圖27－1－9所示：
當n＝4時，內角和為：3×180°－180°＝（3－1）×180°＝（4－2）×180°；
當n＝5時，內角和為：4×180°－180°＝（4－1）×180°＝（5－2）×180°；
當n＝5時，內角和為：5×180°－180°＝（5－1）×180°＝（6－2）×180°；
當n＝6時，內角和為7－2）×180°；
…當邊數為n時，內角和為
求當n＝100時，內角和為
解：本題是三角形內角和定理的乙個應用，體現了化歸思想在解題過程中的重要作用；它從一條邊上的頂點出發與不相鄰的頂點相連，將多邊形分成(n－1)個三角形，總內角和為180（n—1）。由於在180（n－1）中還有一平角不是多邊形的內角，所以內角和為180（n－1）－180°＝180（n－2），詳細過程為：
當n＝6時，六邊形被分成了n－1＝5個三角形，總度數為5×180°
∴內角和為5×180°－180°＝（5－1）×180°＝（6－2）180°
當邊數為n時，多邊形被分成了（n－1）個三角形總度數為（n－1）180°
∴內角和為（n－1）×180°－180°＝（n－1－1）×180°＝（n－2）180°
當n＝100時，內角和為98×180°＝17640°
答案：⑴當n＝6時，內角和為5×180°－180°＝（6－2）×180°
⑵當n＝n時內角和為（n－1）×180°－180°＝（n－1－1）×180°＝（n－2）180°
當n＝100時，內角和為 17640°
點撥：在這一類尋找規律的問題中，要弄明白的是分點在何處，多邊形被分成了多少個不重疊的三角形，哪個度數不是多邊形的內角和。例如本題分點在一條邊上，多邊形被分成了（n—1）個三角形，有乙個平角不屬於多邊形的內角和，再如在圖27－1－10中
分點o在圖形內部，共將四邊形分成了4個三角形，其中有一周角不屬於內角和，所以四邊形的內角和為4×180°－360°＝360°
【誤區警示】n邊形的內角和可有許多證明方法，但每種證明方法都需要將多邊形分割，利用三角形內角和證明，這就要求我們一定要查明白能分成幾個三角形。這些三角形公共頂點在何處，這樣才能萬無一失。
【能力提高】
1、 易錯易混題
從近幾年中考命題看出現易混易錯的題原因主要有以下幾個方面：①基礎知識掌握不紮實（如例2）。②題目理解不透徹。
（如例3）。③沒有注意題目答案不唯一。（如例4）等面對2023年中考應加強這些方面的研究，注意象三角形三邊關係、內角和定理、角的互餘與互補、平行線的判定定理等一系列簡單的基礎知識的學習。
例2：（2004青海）如圖直線ab,cd相交於點o，oe⊥ab於點o，of平分∠aoe,
∠1=15°30′,則下列結論中不正確的是（ ）
a. ∠2=45° b. ∠1=∠3. c .∠aod與∠1互為補角 d．∠1的餘角是75°30′
解：①∵oe⊥ab
∴∠2=45°(a正確)
②∵∠1與∠3對頂角
∴∠1＝∠3（b正確）
③從圖上易得∠aod與∠1互為補角。（c正確）
④∠1的餘角是65°30′（d錯誤）
答案：d
點撥：做題過程中往往忽略最基本的知識，如將互餘想成是和為100°，
或將75°30′＋15°30′，計算成90°等，都是常見錯誤。
例3．（2003河北）一學員在廣場上練習駕駛汽車，兩次拐彎後，行駛的方向與原來的方向相同，這兩次拐彎的角度可能是（）
a． 第一次向左拐30°，第二次向右拐30°
b． 第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
c． 第一次向右拐50°，第二次向右拐130°
d． 第一次向左拐50°，第二次向左拐130°。
解：本題創設了乙個真實的問題，要使經過兩次拐彎後，汽車行駛的方向原來的方向相同，就得保證原來、現在的行駛方向是兩條平行線，且方向一致。本題旨在考查平行線的判定與空間觀念，解題時可根據選項中兩次拐彎的角度畫出汽車行駛的方向，再判定其是否相同，應選a.
答：a。
點撥：這類題除了要對平行線的判定熟知外還要求我們有一定的空間觀念，知道這個度數是前進方向和拐彎方向的夾角，否則，選b、c、d的可能性也是有的。
例4：已知∠abc的邊ba、bc分別與∠def的邊ed、ef垂直，垂足分別為m、n,若∠abc=50°,求∠def的度數。
分析根據題意正確地畫出圖形是解決本題的關鍵，符合條件的圖形可畫出兩種。
解：⑴如圖27－1－12 ①
∵de⊥ab, ef⊥bc,
∴∠emb=∠enb=90°
∵∠emb+∠b+∠def=360°,
又∵∠b=50°
∴∠def=360°-90°-90°-50°=130°
(2) 27－1－12 ②
∵de⊥ab,ef⊥bc,
∴∠emb=∠enb=90°
∵∠deo+∠emb+∠eom=180°,∠bno+∠b+∠bon=180°
∴∠deo+∠emb+∠eom =∠bno+∠b+∠bon
又∵∠eom＝∠bon,∴∠b=∠e
而∠b＝50°∴∠def=50°
答案：∠def＝130°或50°
點撥：⑴沒有給出圖形的題目，首先一定要根據題意正確地畫出圖形，再解答。⑵此題中符合條件的圖形有兩種，要考慮周全，不能漏解。
這也是這類題目常出錯的關鍵所在。⑶由此題可知，乙個角的兩邊與另乙個角的兩邊互相垂直，則兩角相等或互補。
2、 綜合創新題
本部分的綜合創新主要表現在①多個知識點的綜合應用（如三角形與四邊形的結合、與圓的結合、與摺疊、對稱等等的結合等）。②與鄰近學科的有機結合（如在物理上、化學上的應用等）。③題目呈現方式的**多樣。
我們在以後的學習中要注意知識的這種前後聯絡，不要孤立地學習。
例5：例6：（2023年荊州市中考題）如圖27－1－13所示：d是△abc的邊上一點，df交ac於點e且ae=ce,fc∥ab,求證：cd=af.
證法一：
∵fc∥ab,
∴∠dae=∠fce,∠ade=∠cfe.
又∵ae=ec,
∴△ade≌△cfe,
∴de=fe
在△aef與△ced中，
∵ ae=ce
∠aed=∠cef
de=fe
∴△aef≌△ced
∴af=cd
證法二：∵fc∥ab,∴∠dae=∠fce.
又ae=ce,∠aed=∠cef,
∴△ade≌△cfe,
∴ad=cf
又ad∥cf
∴四邊形adcf為平行四邊形，
∴cd=af
點撥：在幾何證明題中，應根據題設條件選擇較簡的方法，但是平時的學習和解題應學會一題多解，以開拓思路方法，增強解題的靈活性。
例6：如圖27－1－14,有三塊平面鏡，∠a=110°一光線照射到o點後發生了一系列反射，若∠1＝60°，則
【解析】這是平面鏡對光的反射與多邊形的內角和定的乙個簡單應用。首先值得注意的就是光的反射規律：入射角等於反射角雖然有些角不是入射角也不是反射角但我們可容易得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6，∠7＝∠θ。
這樣解題就容易多了。
解：易知∠α＝180°－2∠4，∠β＝180°－2∠5，
∴∠α＋∠β＝360°－2（∠4＋∠5）＝180°
又∵∠4＋∠5＝180°-∠a＝180°－110°＝70°
∴∠α＋∠β=360°－2×70°＝220°-
∠θ＝∠7＝360°－∠2－（∠α＋∠β）＝360°－60°－220°
點撥：跨學科綜合題是近幾年的乙個新生事物，它往往借助物理、化學、生物、地理等學科的一些初步知識結合深厚的數學基本功來解題。我們應該明白的是①以考察數學知識為主，其他學科為輔；②這個輔往往很簡單，因此要樹立我一定行的想法努力解決。
但同時我們應該看到這類題目儘管現在較少較簡單，但絕對要看到它的迅猛發展，這就需要我們在學習上的全面發展。
例7：乙個零件的形狀如圖27－1－15所示，零件要求∠a必須等於90°，∠b和∠c分別為45°和35°，檢驗工人量得∠bdc＝159°，就斷定這個零件不合格，你知道為什麼嗎？能否運用三角形的有關知識說明不合格的理由。
解：鏈結ad並延長到f，則∠cdf=∠c+∠cad,∠fdb=∠b+∠cab
∵∠c=35°,∠b=45°,∠cab=90°
∴∠cdb=∠cdf+∠fdb=∠b+∠c+∠cab=170°
而量得∠cdb=159°,故零件不合格。
點撥：⑴通過作輔助線將多邊形轉化為三角形，是解決多邊形問題的最重要的方法之一。⑵把多邊形轉化為三角形，常用的方法是連對角線，或延長某一邊。
3、 **開放題：
這類題往往是沒給出結果或空缺部分條件或結果條件的不確定性。這需要我們在以後的學習中將知識學深、學透，平時多練習一下知識的應用。
例8：一塊三角形玻璃損壞後，只剩下如圖27－1－16所示的殘片，你對圖中作哪些資料測量後，就可到玻璃店割取符合規格的三角形玻璃，並說明其中的道理。
解：由於判定兩個全等（兩塊玻璃完全重合）有多種方法：sas、asa、sss.由已知圖形，我們很容易想到用asa，就可以了，即測量兩角的度數及它們的夾邊就可以去玻璃店割取玻璃了。
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