養老金制度的優化模型
摘要本文針對在現行的養老保險制度情況下追求既達到繳存的養老保險**與其領取的養老金之間達到收支平衡（以下簡稱「收支平衡」），又滿足良好替代率的目標，首先對平均工資建立了logistic （阻滯模型）模型，再考慮到繳費比例、繳費年限、在職人員的工資增長水平等影響因素，計算出不同年齡退休職工領取養老金的替代率，對繳存的養老保險**與領取的養老金採用了作差的方法，計算出缺口，並考慮達到收支平衡的條件，計算得出結果並進行分析比較，以此為滿足收支平衡提供合理的措施。
對於問題一，構造出阻滯模型並建立相應的微分方程，對山東省的33組資料進行擬合，建立起山東省的年平均工資隨時間變化的函式，繼而可以**出2023年至2023年山東省職工的年平均工資，如**所示：
對於問題二，在問題一模型的基礎上，我們假設該企業的職工年平均工資的增長率與全省的增長率相同，構建出該企業職工年平均工資隨時間變化的函式。根據所給各年齡段工資，由最小二乘法進行多項式擬合，我們得到60-64年齡段平均工資。對於替代率的求解採用分步的方法，未知量逐個計算。
對於不同的參保起止年齡的情況，採用從特殊到一般方法。計算各種情況下的養老金替代率為：30歲開始繳納養老金的情況下，55歲、60歲和65歲退休時的替代率分別為28%，37.
4%和52.3%；40歲開始繳納養老金的情況下，55歲、60歲和65歲退休時的替代率分別為17.9%，25.
4%和37.9%
對於問題三，關於缺口情況、平衡情況我們不妨考慮成差值情況，即退休前繳納的保險金與退休後領取的養老金的差值：缺口情況考慮成75歲死亡時，退休後領取的養老金總額與退休前繳納的保險金差值；平衡情況考慮成退休後年以來領取的退休金總額與退休前繳納的保險金差值。
對於問題四，這是乙個優化問題。綜合問題二與問題三的結論，可以採取延長退休時間、增加統籌**的繳納額度等方法，對未來養老金出現的情況進行優化，即在維持養老保險金收支平衡的同時，提高替代率使其達到目標值。
關鍵詞logistic模型替代率養老金缺口與收支平衡
問題的重述
我國企業職工基本養老保險實行「社會統籌」與「個人賬戶」相結合的模式，即企業把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會統籌**賬戶，再把職工個人工資按一定比例（8%）繳納到個人賬戶。這兩個賬戶我們合稱為養老保險**。退休後，按職工在職期間每月（或年）的繳費工資與社會平均工資之比（繳費指數），再考慮到退休前一年的社會平均工資等因素，從社會統籌賬戶中撥出資金（基礎養老金），加上個人工資賬戶中一定比例的資金（個人賬戶養老金），作為退休後每個月的養老金。
養老金會隨著社會平均工資的調整而調整。個人賬戶儲存額以銀行當時公布的一年期存款利率計息，為簡單起見，利率統一設定為3%。
養老金的發放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關係；工資的增長又與經濟增長相關。
影響養老保險**收支平衡的乙個重要因素是替代率。按照國家對基本養老保險制度的總體思路，未來基本養老保險的目標替代率確定為58.5%.
替代率較低，退休職工的生活水準低，養老保險**收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養老保險**收支平衡較難維持，可能出現缺口。所謂缺口，是指當養老保險**入不敷出時出現的收支之差。
問題一：對未來中國經濟發展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設，並參考附件1，**從2023年至2023年的山東省職工的年平均工資。
問題二：根據附件2計算2023年該企業各年齡段職工工資與該企業平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數的參考值，考慮該企業職工自2023年起分別從30歲、40歲開始繳養老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），計算各種情況下的養老金替代率。
問題三：假設該企業某職工自 2023年起從30歲開始繳養老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），並從退休後一直領取養老金，至75歲死亡。計算養老保險**的缺口情況，並計算該職工領取養老金到多少歲時，其繳存的養老保險**與其領取的養老金之間達到收支平衡。
問題四：如果既要達到目標替代率，又要維持養老保險**收支平衡，你認為可以採取什麼措施。請給出你的理由。
問題的分析
問題一由於自然資源、環境條件等因素對經濟的發展起著阻滯作用，並且隨著經濟的發展，阻滯作用越來越大。對此我們可以做出假設，中國的經濟在快速持續的增長的同時，經濟增長率會逐漸降低，形成一種近似s模型的增長模式，這就是阻滯增長模型。其中增長率又是與經濟有關的減函式，我們通過增長速度與增長率之間的關係，建立微分方程。
解出此微分方程，再結合題目所給資料，擬合出方程中的各個引數，從而構建出山東省職工工資隨時間變化的函式，繼而可以對2011-2023年的平均工資進行**。
問題二通過對問題二不同年齡參保、不同年齡退休的情況的討論，得出相應的替代率，我們可以歸納出替代率隨年齡的變化情況，進而可以分析出國家未來職工的生活水平。由於問題二中依舊與職工工資有關，所以我們可以再次根據問題一的模型建立新的阻滯模型（該企業職工工資的增長），根據附件3的相關養老金的計算方法，計算出替代率。
40歲開始繳納養老保險與30歲的情況基本相同，65歲、60歲退休的情況與55歲退休的情況基本相同，因此我們不妨先考慮30歲開始參保，55歲退休的情況。，具體我們形成如下的求解模式（如圖一所示）：
問題三 通過對問題三不同時間退休時缺口情況、繳存的養老保險**與其領取的養老金之間達到收支平衡情況的分析，可以得出國家缺口隨退休年齡不同的變化規律。由於問題三是建立在問題二30歲參保的情況下，我們可以以55歲退休的情況為例，60歲、65歲退休、75歲的情況與55歲基本相同。
對於缺口情況、平衡情況我們不妨考慮成差值情況，即退休前繳納的保險金與退休後領取的養老金的差值：缺口情況考慮成75歲死亡時，退休後領取的養老金總額與退休前繳納的保險金差值；平衡情況考慮成退休後年以來領取的退休金總額與退休前繳納的保險金差值。
問題四問題四要求通過採取措施使養老金替代率接近目標替代率，並且盡量減小缺口以維持養老保險**收支平衡，我們可以看出這是乙個優化問題。綜合問題二與問題三的結論，對未來養老金出現的情況進行優化，即在維持養老保險金收支平衡的同時，提高替代率使其達到目標值。
模型的假設
1)假設退休後個人賬戶不再有利息的增長；
2)假設該企業的年平均工資的增長率與山東省職工年平均工資增長率相同；
3)假設參保人員年初將工資的存入個人的養老金賬戶，年終結算個人養老金賬戶餘額；
4)為簡單起見，假設個人養老金賬戶的年利率為；
5)假設問題中的55歲、60歲和65歲退休理解為當年開始領取養老金；
6)為便於求解，對附件2山東省某企業的各個工資段取中值計算。
符號的假設與說明
1) 養老金的替代率；
2)參保人員退休前年的職工平均工資；
3)參保人員退休前年本人繳費工資額；
4)第年的年平均工資；
5) 企業和職工實際繳納基本養老保險費的年限；
6) 企業和職工實際繳納基本養老保險費的月數合計(可認為)；
7) 2023年山東省職工年平均工資；
8） 退休前的基礎養老金總和；
9） 個人賬戶退休時存款總額；
10） 退休後月基礎養老金；
（其餘符號解題時詳細說明）
模型的建立與求解
（一）問題一
(1)由於自然資源、環境條件等因素對經濟的發展起著阻滯作用，並且隨著經濟的發展，阻滯作用越來越大。對此我們可以做出假設，中國的經濟在今後幾年快速持續增長的同時，經濟增長率會逐漸降低。
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