第二章推理與證明單元測試
(時間：120分鐘滿分：150分)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若實數a，b滿足b>a>0，且a＋b＝1，則下列四個數最大的是( )
a．a2＋b2b．2ab
c. d．a
答案 a
2．下面使用模擬推理正確的是( )
a．「若a·3＝b·3，則a＝b」類推出「若a·0＝b·0，則a＝b」
b．「(a＋b)·c＝ac＋bc」類推出「(a·b)·c＝ac·bc」
c．「(a＋b)·c＝ac＋bc」類推出「＝＋(c≠0)」
d．「(ab)n＝anbn」類推出「(a＋b)n＝an＋bn」
解析由模擬出的結果正確知，選c.
答案 c
3．下面幾種推理是合情推理的是( )
①由圓的性質模擬出球的有關性質；
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和是180°歸納出所有三角形的內角和都是180°；
③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學成績都是100分；
④三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得凸多邊形內角和是(n－2)·180°.
a．①② b．①③④
cd．②④
答案 c
4．下面用「三段論」形式寫出的演繹推理：因為指數函式y＝ax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函式，y＝()x是指數函式，所以y＝()x在(0，＋∞)上是增函式．
該結論顯然是錯誤的，其原因是( )
a．大前提錯誤 b．小前提錯誤
c．推理形式錯誤 d．以上都可能
解析大前提是：指數函式y＝ax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函式，這是錯誤的．
答案 a
5．已知c>1，a＝－，b＝－，則正確的結論是( )
a．a>b b．ac．a＝b d．a，b大小不定
解析 a＝－＝，b＝－＝，∵＋>＋，∴a答案 b
6．函式y＝ax2＋1的影象與直線y＝x相切，則a＝( )
a. b.
c. d．1
解析 ∵y＝ax2＋1，∴y′＝2ax，設切點為(x0，y0)，則a＝.
答案 b
7．求證：＋>.
證明：因為＋和都是正數，
所以為了證明＋>，
只需證明(＋)2>()2，
展開得5＋2>5，即2>0，
顯然成立，
所以不等式＋>.
上述證明過程應用了( )
a．綜合法
b．分析法
c．綜合法、分析法配合使用
d．間接證法
答案 b
8．若a，b，c均為實數，則下面四個結論均是正確的：
①ab＝ba；②(ab)c＝a(bc)；
③若ab＝bc，b≠0，則a－c＝0；
④若ab＝0，則a＝0或b＝0.
對向量a，b，c，用模擬的思想可得到以下四個結論：
①a·b＝b·a；②(a·b)c＝a(b·c)；③若a·b＝b·c，b≠0，則a＝c；④若a·b＝0，則a＝0或b＝0.
其中結論正確的有( )
a．0個 b．1個
c．2個 d．3個
解析由向量數量積的性質知，只有①正確，其它均錯．
答案 b
9．設s(n)＝＋＋＋＋…＋，則( )
a．s(n)共有n項，當n＝2時，s(2)＝＋
b．s(n)共有n＋1項，當n＝2時，s(2)＝＋＋
c．s(n)共有n2－n項，當n＝2時，s(2)＝＋＋
d．s(n)共有n2－n＋1項，當n＝2時，s(2)＝＋＋
解析由分母的變化知s(n)共有n2－n＋1項，當n＝2時，s(2)＝＋＋.
答案 d
10．已知f(x)＝sin(x＋1)－cos(x＋1)，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)＝( )
a．2 b.
c．0 d．－
解析 f(x)＝2[sin(x＋1)－cos(x＋1)]＝2sinx.週期t＝6，f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，
f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝2sin＝.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…f(2011)＝.
答案 b
11．觀察下表：
1 2 34…第一行
2 3 45…第二行
3 4 56…第三行
4 5 67…第四行
第一列第二列第三列第四列
根據數表所反映的規律，第n行第n列交叉點上的數應為( )
a．2n－1b．2n＋1
c．n2－1 d．n2
解析觀察數表可知，第n行第n列交叉點上的數依次為1,3,5,7，…，2n－1.
答案 a
12．對於任意的兩個實數對(a，b)和(c，d)，規定：
(a，b)＝(c，d)當且僅當a＝c，b＝d；運算「」為：
(a，b)(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；運算「⊕」為：
(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)．設p、q∈r，若(1,2)(p，q)＝(5,0)，則(1,2)⊕(p，q)等於( )
a．(4,0) b．(2,0)
c．(0,2) d．(0，－4)
解析由運算的定義知(1,2) (p，q)＝(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，
∴解得∴(1,2) (p，q)＝(1,2) (1，－2)＝(2,0)．
答案 b
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在題中橫線上)
13．對於平面幾何中的命題「如果兩個角的兩邊分別對應垂直，那麼這兩個角相等或互補」，在立體幾何中，模擬上述命題，可以得到命題
答案如果兩個二面角的兩個半平面分別對應垂直，那麼這兩個二面角相等或互補
14．若下列兩個方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有乙個方程有實數根，則實數a的取值範圍是________．
解析假設這兩個方程都沒有實數根，則即即
∴－2故兩個方程至少有乙個有實數根，a的取值範圍是a≤－2或a≥－1.
答案 (－∞，－2]∪[－1，＋∞)
15．已知數列，a1＝，an＋1＝，則a2，a3，a4，a5分別為猜想an
解析 ∵a1＝，an＋1＝，
∴a2＝＝，
a3＝＝＝，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝，
…猜想an＝.
答案 ，，，
16．從1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般規律為________．
解析等式左邊從n項起共有(2n－1)項相加，右邊為(2n－1)2，∴n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)設f(x)＝x2＋ax＋b，求證：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有乙個不小於.
證明假設|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<，
於是有－<1＋a＋b<
－<4＋2a＋b<
－<9＋3a＋b<
①＋③得－1<10＋4a＋2b<1，
∴－3<8＋4a＋2b<－1.
∴－<4＋2a＋b<－.
由②知，－ <4＋2a＋b<，
矛盾，故假設不成立．
∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有乙個不小於.
18．(12分)下列推理是否正確？若不正確，指出錯誤之處．
(1) 求證：四邊形的內角和等於360°.
證明：設四邊形abcd是矩形，則它的四個角都是直角，有∠a＋∠b＋∠c＋∠d＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四邊形的內角和為360°.
(2) 已知和都是無理數，試證：＋也是無理數．
證明：依題設和都是無理數，而無理數與無理數之和是無理數，所以＋必是無理數．
(3) 已知實數m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反證法證明：關於x的方程x2＋2x＋5－m2＝0無實根．
證明：假設方程x2＋2x＋5－m2＝0有實根．由已知實數m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，解得－2解 (1) 犯了偷換論題的錯誤，在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形．
(2) 使用的論據是「無理數與無理數的和是無理數」，這個論據是假的，因為兩個無理數的和不一定是無理數，因此原題的真實性仍無法判定．
(3)利用反證法進行證明時，要把假設作為條件進行推理，得出矛盾，本題在證明過程中並沒有用到假設的結論，也沒有推出矛盾，所以不是反證法．
19．(12分)證明：若a>0，則－≥a＋－2.
證明 ∵a>0，要證－≥a＋－2，
只需證＋2≥a＋＋，
只需證(＋2)2≥(a＋＋)2，
即證a2＋＋4＋4≥a2＋＋4＋2 (a＋)，
即證≥(a＋)，
即證a2＋≥(a2＋＋2)，
即證a2＋≥2，
即證(a－)2≥0，
該不等式顯然成立．
∴－≥a＋－2.
20．(12分)已知數列和是公比不相等的兩個等比數列，cn＝an＋bn.
求證：數列不是等比數列．
證明假設是等比數列，則c1，c2，c3成等比數列．設，的公比分別為p和q且p≠q，則a2＝a1·p，a3＝a1p2，b2＝b1q，b3＝b1q2.
∵c1，c2，c3成等比數列，
∴c＝c1·c3，
即(a2＋b2)2＝(a1＋b1)(a3＋b3)．
∴(a1p＋b1q)2＝(a1＋b1)(a1p2＋b1q2)．
∴2a1b1pq＝a1b1p2＋a1b1q2.
∴2pq＝p2＋q2，∴(p－q)2＝0.
∴p＝q與已知p≠q矛盾．
∴數列不是等比數列．
21．(2010·江蘇)如右圖，在四稜錐p－abcd中，pd⊥平面abcd，pd＝dc＝bc＝1，ab＝2，ab∥dc，∠bcd＝90°.
推理與證明 單元測試
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第二章命題與證明單元測試題
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