第2章單元測試題
1．已知扇形的孤長為l，半徑為r，模擬三角形的面積公式s＝，可知扇形面積公式( )
a. b. c. d．不可模擬
2．我們把1,4,9,16,25，這些數稱做正方形數，這是因為這些數目的點子可以排成乙個正方形(如下圖)．試求第n個正方形數是( )
a．n(n－1) b．n(n＋1) c．n2 d．(n＋1)2
3．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈n*)，猜想f(x)的表示式為( )
a．f(x)＝ b．f(x)＝c．f(x)＝ d．f(x)＝
4．三角形的面積為s＝(a＋b＋c)·r，(a，b，c為三角形的邊長，r為三角形的內切圓的半徑)利用模擬推理，可以得出四面體的體積為(
a．v＝abc(a，b，c，為底面邊長)b．v＝sh(s為底面面積，h為四面體的高)c．v＝(s1＋s2＋s3＋s4)r(s1，s2，s3，s4分別為四面體四個面的面積，r為四面體內切球的半徑)d．v＝(ab＋bc＋ac)h(a，b，為底面邊長，h為四面體的高)
5．單個蜂巢可以近似地看作是乙個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖．其中第乙個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數．則f(4f(n
a．37 3n2－3n＋1 b．38 3n2－3n＋2
c．36 3n2－3n d．35 3n2－3n－1
6．用數學歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)··(n＋n)＝2n·1·3··(2n－1)(n∈n*)時，從n＝k到n＝k＋1時左邊需增乘的代數式是( )
a．2k＋1 b．2(2k＋1) c. d.
7．設m＝(－1)(－1)(－1)，且a＋b＋c＝1(a，b，c均為正數)，由綜合法得m的取值範圍是( )
a. b. c．[1,8] d．[8，＋)
8．若x，y是正數，則(x＋)2＋(y＋)2的最小值是( )
a．3 b. c．4 d.
9．設a，b，c∈(－，0)，則a＋，b＋，a＋( )
a．都不大於－2 b．都不小於－2
c．至少有乙個不大於－2 d．至少有乙個不小於－2
11．在平面直角座標系內，方程＋＝1表示在x、y軸上的截距分別為a、b的直線，拓展到空間直角座標系內，在x、y、z軸上的截距分別為a、b、c(abc0)的平面方程為( )
a.＋＋＝1 b.＋＋＝1
c.＋＋＝1 d．ax＋by＋cz＝1
12．若a1，a2，，a8為各項都大於零的等差數列，公差d0，則
a．a1a8>a4a5 b．a1a8c．a1＋a8>a4＋a5 d．a1a8＝a4a5
13．觀察下列不等式：1>，1＋＋>1,1＋＋＋＋>，1＋＋＋＋>2,1＋＋＋＋>，由此猜測第n個不等式為________
14．由代數式的乘法法則模擬推導向量的數量積的運算法則：
①°mn＝nm±模擬得到°a·b＝b·a±；
②°(m＋n)t＝mt＋nt±模擬得到°(a＋b)·c＝a·c＋b·c±；
③°t0，mt＝ntm＝n±模擬得到°c0，a·c＝b·ca＝b±；
④°|m·n|＝|m|·|n|±模擬得到°|a·b|＝|a|·|b|±；
⑤°(m·n)t＝m(n·t)±模擬得到°(a·b)·c＝a(b·c)±；
⑥°＝±模擬得到＝.以上的式子中，模擬得到的結論正確的是________．
15．f(n)＝1＋＋＋＋(n∈n*)，經計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)<，推測當n2時，有________．
16．若數列的通項公式an＝(n∈n*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)(1－an)，試通過計算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測出f(n
17．已知x>0，y>0用分析法證明：(x2＋y2) >(x3＋y3).
18．觀察(1)tan10°tan20°＋tan20°·tan60°＋tan60°·tan10°＝1；
(2)tan5°tan10°＋tan10°tan75°＋tan75°·tan5°＝1.
由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論．
19．已知f(x)＝－x3－x＋1，(x∈r)
求證：滿足f(x)＝0的實數值至多只有1個．
20．△abc的三個內角a、b、c成等差數列，求證：＋＝.
21．數列的前n項和為sn，若數列的各項按如下規律排列1)若數列滿足b1＝a1，b2＝a2＋a3，b3＝a4＋a5＋a6，，寫出數列的前三項；
(2)猜想數列的通項並證明，並且求出的前n項和tn.
22．已知函式f(x)＝ax－－2lnx，f(1)＝0.(1)若函式f(x)在其定義域內為單調函式，求實數a的取值範圍？(2)若函式f(x)的影象在x＝1處的切線的斜率為0，且an＋1＝f－nan＋1，若a13，求證：
ann＋2.
解析 (1)x>0，∵f(1)＝a－b，∴a＝b，f(x)＝a＋－＝a2＋a－0.
①當a>0時，則有f(x)＝a2＋a－0恆成立，即a－0，即a1.
②當a<0時，由x>0，知f(x)<0恆成立．
③當a＝0時，f(x)＝－，x>0，f(x)<0恆成立．
∴若f(x)在定義域內為單調函式，
則a的取值範圍是(－，0]∪[1，＋)．
(2)∵函式f(x)的影象在x＝1處的切線斜率為0，
∴f(1)＝0，即a＋a－2＝0，解得a＝1.
∴f(x)＝2，∴an＋1＝a－nan＋1.
用數學歸納法證明：
①當n＝1時，a13＝1＋2，不等式成立；
②假設當n＝k時，不等式成立，即akk＋2，
則ak－k2>0，∴ak＋1＝ak(ak－k)＋12(k＋2)＋1＝(k＋3)＋k＋2>k＋3，
也就是說，當n＝k＋1時，ak＋1(k＋1)＋2.
根據①②對於所有n1有ann＋2.
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