課題：你能證明它們嗎（一）
課型：新授課
授課人：滕州市西崗中學楊秋莉
授課時間：2023年9月2號第一節，第二節
教學目標
1．在證明過程中，進一步感受證明過程，掌握推理證明的基本要求，明確條件和結論，能夠借助數學符號語言利用綜合法證明等腰三角形的性質定理和判定定理；熟悉證明的基本步驟和書寫格式.
2．經歷「探索－發現－猜想－證明」的過程，讓學生進一步體會證明是探索活動的自然延續和必要發展，發展學生的初步的演繹邏輯推理的能力；鼓勵學生在交流探索中發現證明方法的多樣性，提高邏輯思維水平；
3．啟發引導學生體會探索結論和證明結論，及合情推理與演繹的相互依賴和相互補充的辯證關係；培養學生合作交流的能力，以及獨立思考的良好學習習慣.
教學方法:
教學重、難點
重點：探索證明等腰三角形性質定理的思路與方法，掌握證明的基本要求和方法；
難點：明確推理證明的基本要求如明確條件和結論，能否用數學語言正確表達等.
學情分析
在八年級下冊第六章《證明（一）》，學生已經感受了證明的必要性，並通過平行線有關命題的證明過程，習得了一些基本的證明方法和基本規範，積累了一定的證明經驗；在七年級下，學生也已經探索得到了有關三角形全等和等腰三角形的有關命題，這些都為證明本節有關命題做了很好的鋪墊.
教法指導
在本章之前，學生已經對圖形的性質及其相互關係進行了大量的探索，探索的同時也經歷過一些簡單的推理過程，已經具備了一定的推理能力，樹立了初步的推理意識，對於證明的方法，除了注重啟發和回憶，還應注意關注證明方法的多樣性，力圖通過學生的自主探索，獲得多樣的證明方法，並在比較中選擇適當的方法. 教學中應要求學生掌握綜合法和分析法證明命題的基本要求，掌握規範的證明表述過程，達成課程標準對證明表述的要求.結合我校「自主**,當堂達標」教學模式，設計教學流程，完成本節教學任務.
課前準備
學生課前準備：一張等腰三角形紙片（供上課摺疊實驗用）；
教師課前準備：製作好的多**課件,作圖基本工具
教學過程
第一環節：回顧舊知匯出公理
師:大家知道的古今中外的大偵探有哪些?
生:福爾摩斯,柯南,包公,狄仁傑……
師:大家知道他們在斷案時,都需要做些什麼?
生(七嘴八舌):找線索,分析推斷……
師:那能胡猜亂蒙嗎?隨便猜忌嗎?
生（大笑）：當然不可以.用電視上經常說的話叫「不冤枉乙個好人，也不放過乙個壞人」.
師：哦!那也就是說推理得有依據.在我們數學上要判斷乙個命題是否正確，又依據什麼呢？
生：公理，已證的定理推論，或者是定義.
師：很好！誰能說一下我們本教材所涉及的公理有哪些？(提請學生回憶並整理《證明（一）》中列出的六條公理)
生(互相補充)1.兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行；
2.兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等；
3.兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等（sas）；
4.兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）；
5.三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）；
6.全等三角形的對應邊相等,對應角相等.
師:前兩個在八年級的《證明一》已經進行了證明推理，大家知道證明三角形全等還有一種方法是什麼？
（引導在此基礎上回憶全等三角形的另一判別條件：（推論）兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas），並要求學生利用前面所提到的公理進行證明）
生: aas.
師:誰能具體的說說這個命題的具體內容?
生:兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.
師:它不是乙個公理,需要我們去證明,該如何處理呢?
生:以小組為單位討論.
設計意圖：經過乙個暑假，學生難免有所遺忘，因此，在第一課時，回顧有關內容，既是對前面學習內容的乙個簡單梳理，也為後續有關證明做了知識準備；證明這個推論，可以讓學生熟悉證明的基本要求和步驟，為後面的其他證明做好準備.
活動效果：由於有了前面的鋪墊，學生一般都能得到該推論的證明思路，但由於有了乙個暑假的遺忘，可能部分學生的表述未必嚴謹、規範，教學中注意提請學生分析條件和結論，畫出簡圖，寫出已知和求證，並規範地寫出證明過程.
(課件展示)具體證明過程：
已知：如圖，∠a=∠d,∠b=∠e,bc=ef.
求證：△abc≌△def.
證明：∵∠a=∠d,∠b=∠e（已知），
又∠a+∠b+∠c=180°，∠d+∠e+∠f=180°（三角形內角和等於180°）
∴∠c=180°-(∠a+∠b)，
∠f=180°-(∠d+∠e)，
∴∠c=∠f（等量代換）
又bc=ef（已知），
∴△abc≌△def（asa）.
(課件展示)
推論兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等.
第二環節：摺紙活動探索新知
師：（提問）等腰三角形有哪些性質？以前是如何探索這些性質的？
生：當時是利用軸對稱性質，通過摺紙進行驗證的.
師:你能再次通過摺紙活動驗證這些性質嗎？並根據摺紙過程，得到這些性質的證明嗎？
生:動手操作.
(引導學生經歷這些定理的活動驗證和證明過程.具體操作中，可以讓學生先獨自摺紙觀察、探索並寫出等腰三角形的性質，然後再以六人為小組進行交流，互相彌補不足.)
設計意圖：通過摺紙活動過程，獲得有關命題的證明思路，並通過進一步的整理，再次感受證明是探索的自然延伸和發展，熟悉證明的基本步驟和書寫格式.
活動效果：由於有了教師引導下學生的活動，以及具體的摺紙操作，學生一般都能得到有關等腰三角形的性質定理，當然，可能部分學生得到的定理並不全面，在學生小組的交流中，通過同伴的互相補充，一般都可以得到所有性質定理.當然，在教學過程中，教師應注意小組的巡視，提醒學生思考多種證明思路，思考不同的輔助線之間的關係從而得到「三線合一」.
第三環節：明晰結論和證明過程
師: 通過剛才的摺紙,我們得到並驗證了等腰三角形的兩個底角相等.哪個小組可以寫出證明過程?
生:踴躍舉手.
師:選代表板演.
已知: 在△abc中, ab=ac.
求證: ∠b=∠c
證明:作ad平分∠bac,則有∠bad=∠cad
在△adb和△adc中
∴△bad≌△cad（sas）∴∠b=∠c
師：大家還有其他證法嗎？生：舉手（板演）
已知: 在△abc中, ab=ac.
求證: ∠b=∠c
證明:作bc邊上的中線ad,則有bd=cd
在△adb和△adc中
∴△bad≌△cad（sssb=∠c
生：老師還有一種證法
師：（示意）
生：(實物展示)
已知: 在△abc中, ab=ac.
求證: ∠b=∠c
證明:作bc邊上的高線ad,則有∠adb=∠adc=90°
∴△bad和△cad為直角三角形
在rt△adb和rt△adc中
∴rt△bad≌rt△cad（hl）∴∠b=∠c
師：鼓掌！非常棒！大家的思路非常敏捷！大家看明白了嗎?
生：明白了！
師:因此,我們可以得到等腰三角形的性質,等腰三角形的兩個底角相等.即等邊對等角.這又給我們提供了一種證明角相等的方法.
師：通過剛才三位同學的證明過程，大家有沒有發現線段ad有什麼特徵？
生：三線合一！
師：哪三線呢？
生：頂角的角平分線，底邊上的中線，底邊上的高三線合一.
師:能不能簡單說一下證明過程？
生1：如果ad是△abc的頂角平分線，則分成的兩個三角形滿足sas，所以兩個三角形全等，即可得到bd=cd, ∠adb=∠adc=90°.即ad是bc邊上的中線，也是高線.
師:非常好,思路清晰.
生2:如果ad是△abc邊bc的高線,則兩個三角形滿足hl,所以三角形全等，即可得到bd=cd,
∠bad=∠cad.即ad是bc邊上的中線，也是角平分線.
生3: 如果ad是△abc邊bc的中線,則兩個三角形滿足sss,所以三角形全等，即可得到∠adb=∠adc=90°,∠bad=∠cad.即ad是bc邊上的高線，也是角平分線.
師:大家說得非常好!由於時間關係,請大家課下將證明過程整理在課本上.
(課件展示)等腰三角形的」三線合一性」
等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高三條線重合.(三線合一)
課件展示拓展延伸
師:在上面等腰三角形性質定理的基礎上，思考等邊三角形的特殊性質，從而得到：等邊三角形三個內角都相等並且每個內角都等於60°.
生:獨立完成(板演)
已知：如圖，δabc中，ab=bc=ac．
求證：∠a=∠b=∠c=60°.
證明：在δabc中，∵ab=ac，∴∠b=∠c(等邊對等角)．
同理：∠c=∠a，∴∠a=∠b=∠c（等量代換）．
又∵∠a+∠b+∠c＝180°（三角形內角和定理），∴∠a=∠b=∠c＝60°．
設計意圖：和學生一起完成性質定理的證明，可以讓學生自主經歷命題的證明過程；明晰證明過程，意圖給學生明晰一定的規範，起到一種引領作用；活動2，則是前面命題的直接推論，力圖讓學生形成拓廣命題的意識，同時也是乙個很好的鞏固練習.
活動效果：學生一般都能得到這些定理的證明，能規範地寫出對於「等邊三角形三個內角都相等並且每個內角都等於60°」的證明過程.
第四環節：隨堂練習鞏固新知
師:課件展示p4第2題：
如圖,在△abd中,c是bd上的一點，且ac⊥bd，ac=bc=cd，
（1）求證：△abd是等腰三角形；
（2）求∠bad的度數
生:自主完成（實物展示其解題過程）
設計意圖：鞏固全等三角形判定公理的應用，複習等腰三角形「等邊對等角」的用法.
第五環節：課堂小結
師：大家來說說這節課我們學到哪些知識運用了哪些思想方法？
讓學生暢談收穫，包括具體結論以及其中的思想方法等.
生1:我知道了乙個命題的正確性需要推理證明.
生2:等腰三角形的性質可以轉化為三角形全等進行證明.
生3:了解了等腰三角形的三線合一性
……設計意圖：形成及時總結語反思的意識與習慣，提高學生能力.
活動效果：教師注意對學生的感想進行適當的引導，並在學生交流的基礎上，明晰部分收穫供學生共享，如：
1、具體有關性質定理；
滕州市西崗中學楊秋莉 《配方法
課題 2.2配方法 二 課型 新授課 授課人 楊秋莉 授課時間 2013年9月23日 教學目標 經歷配方法解一元二次方程的過程，獲得解二元一次方程的基本技能 經歷用配方法解二次項係數不為1的一元二次方程的過程，體會其中的化歸思想 能利用一元二次方程解決有關的實際問題，能根據具體問題的實際意義檢驗結果...
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