基本概念
1、變數：在乙個變化過程中可以取不同數值的量。常量：在乙個變化過程中只能取同一數值的量。
例題：在勻速運動公式中,表示速度,表示時間,表示在時間內所走的路程,則變數是________,常量是_______。在圓的周長公式c=2πr中，變數是________，常量是
2、函式：一般的，在乙個變化過程中，如果有兩個變數x和y，並且對於x的每乙個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那麼我們就把x稱為自變數，把y稱為因變數，y是x的函式。
*判斷y是否為x的函式，只要看x取值確定的時候，y是否有唯一確定的值與之對應
例題：下列函式（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函式的有（ ）
（a）4個 （b）3個 （c）2個 （d）1個
3、確定函式自變數取值範圍的方法：
（1）關係式為整式時，自變數的取值範圍為全體實數；（2）關係式含有分式時，分式的分母不等於零；
（3）關係式含有二次根式時，被開放方數大於等於零；（4）關係式中含有指數為零的式子時，底數不等於零；
（5）實際問題中，自變數的取值範圍還要和實際情況相符合，使之有意義。
例題：下列函式中，自變數x的取值範圍是x≥2的是（ ）
a．y= b．y= c．y= d．y=·
函式中自變數x的取值範圍是
已知函式，當時，y的取值範圍是 （ ）
a. b. c. d.
4、函式的影象
一般來說，對於乙個函式，如果把自變數與函式的每對對應值分別作為點的橫、縱座標，那麼座標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函式的圖象．
5、函式解析式：用含有表示自變數的字母的代數式表示因變數的式子叫做解析式。
6、描點法畫函式圖形的一般步驟
第一步：列表（表中給出一些自變數的值及其對應的函式值）；
第二步：描點（在直角座標系中，以自變數的值為橫座標，相應的函式值為縱座標，描出**中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫座標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連線起來）。
7、函式的表示方法
列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變數與函式之間的對應規律。
解析式法：簡單明瞭，能夠準確地反映整個變化過程中自變數與函式之間的相依關係，但有些實際問題中的函式關係，不能用解析式表示。
圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變數之間的函式關係。
8、正比例函式及性質
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函式叫做正比例函式，其中k叫做比例係數.
注：正比例函式一般形式 y=kx (k不為零) k不為零 x指數為1 b取零
當k>0時，直線y=kx經過
三、一象限，從左向右上公升，即隨x的增大y也增大；當k<0時，直線y=kx經過
二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
(1) 解析式：y=kx（k是常數，k≠0）
(2) 必過點：（0，0）、（1，k）
(3) 走向：k>0時，影象經過
一、三象限；k<0時，影象經過
二、四象限
(4) 增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小
(5) 傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
例題：正比例函式，當m時，y隨x的增大而增大.
若是正比例函式，則b的值是
a.0 bcd.
.函式y=(k-1)x，y隨x增大而減小，則k的範圍是 ( )
a. b. c. d.
東方超市鮮雞蛋每個0.4元，那麼所付款y元與買鮮雞蛋個數x（個）之間的函式關係式是
平行四邊形相鄰的兩邊長為x、y，周長是30，則y與x的函式關係式是
9、一次函式及性質
一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數，k≠0)，那麼y叫做x的一次函式.當b=0時，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函式是一種特殊的一次函式.
注：一次函式一般形式 y=kx+b (k不為零) k不為零 x指數為1 b取任意實數
一次函式y=kx+b的圖象是經過（0，b）和兩點的一條直線，我們稱它為直線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個單位長度得到.（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）
（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數，k0)
（2）必過點：（0，b）和
（3）走向： k>0，圖象經過第
一、三象限；k<0，圖象經過第
二、四象限
b>0，圖象經過第
一、二象限；b<0，圖象經過第
三、四象限
直線經過第
一、二、三象限直線經過第
一、三、四象限
直線經過第
一、二、四象限直線經過第
二、三、四象限
（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.
（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近於y軸；|k|越小，圖象越接近於x軸.
（6）影象的平移： 當b>0時，將直線y=kx的圖象向上平移b個單位；
當b<0時，將直線y=kx的圖象向下平移b個單位.
例題：（1）若關於x的函式是一次函式，則m= ，n
.（2）函式y=ax+b與y=bx+a的圖象在同一座標系內的大致位置正確的是（ ）
（3）將直線y＝3x向下平移5個單位，得到直線將直線y＝-x-5向上平移5個單位，得到直線
（4）若直線和直線的交點座標為(),則
（5）已知函式y＝3x+1，當自變數增加m時，相應的函式值增加（ ）
ａ．3m+1 ｂ．3m ｃ．m ｄ．3m－1
10、一次函式y=kx＋b的圖象的畫法.
根據幾何知識：經過兩點能畫出一條直線，並且只能畫出一條直線，即兩點確定一條直線，所以畫一次函式的圖象時，只要先描出兩點，再連成直線即可.一般情況下：
是先選取它與兩座標軸的交點：，.即橫座標或縱座標為0的點.
（1）若m＜0, n＞0, 則一次函式y=mx+n的圖象不經過 （ ）
a.第一象限b. 第二象限 c.第三象限 d.第四象限
（2）若點和點在直線上，且則
若若，。
11、正比例函式與一次函式圖象之間的關係
一次函式y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個單位長度而得到（當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移）.
12、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關係
（1）兩直線平行：k1=k2且b1 b2
（2）兩直線相交：k1k2
（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2
13、用待定係數法確定函式解析式的一般步驟：
（1）根據已知條件寫出含有待定係數的函式關係式；
（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的座標代入上述函式關係式中得到以待定係數為未知數的方程；
（3）解方程得出未知係數的值；
（4）將求出的待定係數代回所求的函式關係式中得出所求函式的解析式.
14、一元一次方程與一次函式的關係
任何一元一次方程到可以轉化為ax+b=0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉化為：當某個一次函式的值為0時，求相應的自變數的值. 從圖象上看，相當於已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點的橫座標的值.
15、一次函式與一元一次不等式的關係
任何乙個一元一次不等式都可以轉化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函式值大（小）於0時，求自變數的取值範圍.
16、一次函式與二元一次方程組
（1）以二元一次方程ax+by=c的解為座標的點組成的圖象與一次函式y=的圖象相同.
（2）二元一次方程組的解可以看作是兩個一次函式y=和y=的圖象交點.
17、典型例題
型別一：正比例函式與一次函式定義
例1、當m為何值時，函式是一次函式？
思路點撥：某函式是一次函式，除應符合y=kx+b外，還要注意條件k≠0．
解：∵函式是一次函式，
∴∴m=-2.
∴當m=-2時，函式是一次函式．
舉一反三：
【變式1】如果函式是正比例函式，那麼（ ）.
a．m=2或m=0 b．m=2 c．m=0 d．m=1
【變式2】已知y-3與x成正比例，且x=2時，y=7.
（1）寫出y與x之間的函式關係式；
（2）當x=4時，求y的值；
（3）當y=4時，求x的值．
型別二：待定係數法求函式解析式
例2、求圖象經過點（2，-1），且與直線y=2x+1平行的一次函式的表示式．
思路點撥：圖象與y=2x+1平行的函式的表示式的一次項係數為2，則可設此表示式為y=2x+b，再將點（2，-1）代入，求出b即可．
解析：由題意可設所求函式表示式為y=2x+b，
∵圖象經過點（ 2，-1），
∴ -l=2×2+b．
∴ b=-5，
∴所求一次函式的表示式為 y=2x-5.
總結昇華：求函式的解析式常用的方法是待定係數法，具體怎樣求出其中的待定係數的值，要根據具體的題設條件求出。
舉一反三：
【 變式1】已知彈簧的長度y（cm）在一定的彈性限度內是所掛重物的質量x（kg）的一次函式，現已測得不掛重物時，彈簧的長度為6cm，掛4kg的重物時，彈簧的長度是7.2cm，求這個一次函式的表示式．
分析:題中並沒給出一次函式的表示式，因此應先設一次函式的表示式y=kx+b，再由已知條件可知，當x=0時，y=6；當x=4時，y=7.2．求出k，b即可．
【變式2】已知直線y=2x+1．
（1）求已知直線與y軸交點m的座標；
（2）若直線y=kx+b與已知直線關於y軸對稱，求k，b的值．
【變式3】判斷三點a（3，1），b（0，-2），c（4，2）是否在同一條直線上．
分析：由於兩點確定一條直線，故選取其中兩點，求經過這兩點的函式表示式，再把第三個點的座標代入表示式中，若成立，說明第三點在此直線上；若不成立，說明不在此直線上．
型別三：函式圖象的應用
例3、圖中的圖象（折線abcde）描述了一汽車在某一直線上的行駛過程中，汽車離出發地的距離s(km)和行駛時間t(h)之間的函式關係，根據圖中提供的資訊，回答下列問題：
(1)汽車共行駛了km；
(2)汽車在行駛途中停留了h；
(3)汽車在整個行駛過程中的平均速度為km/h；
(4)汽車自出發後3h至4.5h之間行駛的方向是
思路點撥：讀懂圖象所表達的資訊，弄懂並熟悉圖象語言.圖中給出的資訊反映了行駛過程中時間和汽車位置的變化過程，橫軸代表行駛時間，縱軸代表汽車的位置.
圖象上的最高點就是汽車離出發點最遠的距離. 汽車來回一次，共行駛了120×2=240(千公尺)，整個過程用時4.5小時，平均速度為240÷4.
5= (千公尺/時)，行駛途中1.5時—2時之間汽車沒有行駛.
解析：(1)240； (2)0.5； (3)； (4)從目的地返回出發點.
總結昇華：這類題是課本例題的變式，**於生活，貼近實際，是中考中常見題型，應注意行駛路程與兩地之間的距離之間的區別.本題圖象上點的縱座標表示的是汽車離出發地的距離，橫座標表示汽車的行駛時間.
舉一反三：
【變式1】圖中，射線分別表示甲、乙兩運動員在自行車比賽中所走的路程s與時間t的函式關係，求它們行進的速度關係。
【變式2】小高從家騎自行車去學校上學，先走上坡路到達點a，再走下坡路到達點b，最後走平路到達學校，所用的時間與路程的關係如圖所示。放學後，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分別保持和去上學時一致，那麼他從學校到家需要的時間是( )
a.14分鐘 b.17分鐘 c.18分鐘 d.20分鐘
【變式3】某種洗衣機在洗滌衣服時,經歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續的過程，其中進水、清洗、排水時洗衣機中的水量y（公升）與時間x（分鐘）之間的關係如圖所示：
根據圖象解答下列問題：
（1）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少公升？
（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19公升.
①求排水時y與x之間的關係式；
②如果排水時間為 2分鐘，求排水結束時洗衣機中剩下的水量.
分析：依題意解讀圖象可知：從0—4分鐘在進水，4—15分鐘在清洗，此時，洗衣機內有水40公升，15分鐘後開始放水.
型別四：一次函式的性質
例4、己知一次函式y=kx十b的圖象交x軸於點a（一6，0），交y軸於點b，且△aob的面積為12，y隨x的增大而增大，求k，b的值．
思路點撥：設函式的圖象與y軸交於點b（0，b），則,由△aob 的面積，可求出b，又由點a在直線上，可求出k並由函式的性質確定k的取值．
解析：直線y=kx十b與y軸交於點b（0，b），點a在直線上，則①，
由，即，解得代入①，可得，
由於y隨x的增大而增大，則k＞0,取，則．
總結昇華：該題考查的是待定係數法和函式值，仔細觀察所畫圖象，找出隱含條件。
舉一反三：
【變式1】已知關於x的一次函式．
（1）m為何值時，函式的圖象經過原點?
（2）m為何值時，函式的圖象經過點（0，－2）?
（3）m為何值時，函式的圖象和直線y=－x平行?
（4）m為何值時，y隨x的增大而減小？
第十四章一次函式複習小結
一 本章知識結構圖 二 各個知識點突破 一 1 當x y滿足什麼條件時，y是x的函式。答 判斷的標準 對於x取乙個確定的值，y是否有唯一確定的值與之對應。2 並能夠寫出函式的解析式，並判斷哪些是常量 變數 自變數 函式。常量 始終不變的量。變數 數值發生變化的量。自變數 先變的那個量。函式 隨著自變...
第十四章一次函式第十一課
第十九章一次函式第十二課時 一次函式與一元一次方程 授課時間 2014年5月日主備人 李政超 教學目標 通過數學結合體驗一次函式與一元一次方程之間的聯絡 教學重點 一次函式與一元一次方程之間轉化 教學難點 一次函式與一元一次方程之間轉化 教學內容 p96 教學過程 活動一 獨立思考 1 解方程2x ...
「第十四章一次函式」小結與複習
安徽省無為縣劉渡中心學校 238341 丁浩勇 考點呈現 考點1 常量與變數的判定 例1 用火柴棒按圖1的方式搭三角形，搭1個三角形用了3支火柴棒，搭2個三角形用5支火柴 按此規律搭下去，搭n n是正整數 個三角形需用s根火柴棒 那麼用含n的式子表示s為 其中是常量是變數 解析 第1個三角形由3支火...