立體幾何知識點整理（文科）
一． 直線和平面的三種位置關係：
1. 線面平行
符號表示：
2. 線面相交
符號表示
3. 線在麵內
符號表示：
二． 平行關係：
1. 線線平行：
方法一：用線面平行實現。
方法二：用麵麵平行實現。
方法三：用線面垂直實現。
若，則。
方法四：用向量方法
若向量和向量共線且l、m不重合，則。
2. 線面平行：
方法一：用線線平行實現。
方法二：用麵麵平行實現。
方法三：用平面法向量實現。
若為平面的乙個法向量，且,則。
3. 面面平行：
方法一：用線線平行實現。
方法二：用線面平行實現。
三．垂直關係：
1. 線面垂直：
方法一：用線線垂直實現。
方法二：用麵麵垂直實現。
2. 面面垂直：
方法一：用線面垂直實現。
方法二：計算所成二面角為直角。
3. 線線垂直：
方法一：用線面垂直實現。
方法二：三垂線定理及其逆定理。
方法三：用向量方法
若向量和向量的數量積為0，則。
三． 夾角問題。
(一) 異面直線所成的角：
(1) 範圍：
(2)求法：
方法一：定義法。
步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。
步驟2：解三角形求出角。(常用到餘弦定理)
餘弦定理：
(計算結果可能是其補角)
方法二：向量法。轉化為向量的夾角
(計算結果可能是其補角)：
(二) 線面角
(1)定義：直線l上任取一點p（交點除外），作po於o,鏈結ao，則ao為斜線pa在麵內的射影， (圖中)為直線l與面所成的角。
(2)範圍：
當時，或
當時，(3)求法：
方法一：定義法。
步驟1：作出線面角，並證明。
步驟2：解三角形，求出線面角。
(三) 二面角及其平面角
(1)定義：在稜l上取一點p，兩個半平面內分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角—l—的平面角。
(2)範圍：
(3)求法：
方法一：定義法。
步驟1：作出二面角的平面角(三垂線定理)，並證明。
步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。
方法二：截面法。
步驟1：如圖，若平面poa同時垂直於平面，則交線(射線)ap和ao的夾角就是二面角。
步驟2：解三角形，求出二面角。
方法三：座標法(計算結果可能與二面角互補)。
步驟一：計算
步驟二：判斷與的關係，可能相等或者互補。
四． 距離問題。
1．點麵距。
方法一：幾何法。
步驟1：過點p作po於o，線段po即為所求。
步驟2：計算線段po的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點法)
2．線面距、麵麵距均可轉化為點面距。
3．異面直線之間的距離
方法一：轉化為線面距離。
如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直線m和n之間的距離可轉化為直線m與平面之間的距離。
方法二：直接計算公垂線段的長度。
方法三：公式法。
如圖，ad是異面直線m和n的公垂線段，，則異面直線m和n之間的距離為：
高考題典例
考點1 點到平面的距離
例1如圖，正三稜柱的所有稜長都為，為中點．
（ⅰ）求證：平面；（ⅱ）求二面角的大小；
（ⅲ）求點到平面的距離．
解答過程（ⅰ）取中點，鏈結．
為正三角形，．
正三稜柱中，平面平面，
平面．鏈結，在正方形中，分別為的中點， ， ．
在正方形中，， 平面．
（ⅱ）設與交於點，在平面中，作於，鏈結，由（ⅰ）得平面． ， 為二面角的平面角．
在中，由等面積法可求得，
又， ．
所以二面角的大小為．
（ⅲ）中，，．
在正三稜柱中，到平面的距離為．
設點到平面的距離為．
由，得， ．
點到平面的距離為．
考點2 異面直線的距離
例2 已知三稜錐，底面是邊長為的正三角形，稜的長為2，且垂直於底面.分別為的中點，求cd與se間的距離.
解答過程： 如圖所示，取bd的中點f，鏈結ef，sf，cf，
為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉化為線上一點c到平面
的距離，設其為h，由題意知，,d、e、f分別是ab、bc、bd的中點，
在rt中，
在rt中，
又由於，即，解得故cd與se間的距離為.
考點3 直線到平面的距離
例3． 如圖，在稜長為2的正方體中，g是的中點，求bd到平面的距離.
思路啟迪：把線面距離轉化為點麵距離，再用點到平面距離的方法求解.
解答過程：解析一∥平面，
上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求
點o平面的距離,
，，平面,
又平面平面，兩個平面的交線是,
作於h，則有平面，即oh是o點到平面的距離.
在中，.
又.即bd到平面的距離等於.
解析二 ∥平面，
上任意一點到平面的距離皆為所求，以下求點b平面的距離.
設點b到平面的距離為h，將它視為三稜錐的高，則
, 即bd到平面的距離等於.
小結：當直線與平面平行時，直線上的每一點到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關鍵是選準恰當的點，轉化為點麵距離.
本例解析一是根據選出的點直接作出距離；解析二是等體積法求出點面距離.
考點4 異面直線所成的角
例4如圖，在中，，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉得到，且二面角的直二面角．是的中點．
（i）求證：平面平面；
（ii）求異面直線與所成角的大小．
解答過程：（i）由題意，，，
是二面角是直二面角，
，又， 平面，
又平面．平面平面．
（ii）作，垂足為，鏈結（如圖），則，
是異面直線與所成的角．
在中，，，．
又．在中，．
異面直線與所成角的大小為．
小結： 求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：①平移法：
在異面直線中的一條直線上選擇「特殊點」，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；②補形法：把空間圖形補成熟悉的幾何體，其目的在於容易發現兩條異面直線間的關係，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應作為求異面直線所成的角的首選方法.
同時要特別注意異面直線所成的角的範圍：.
考點5 直線和平面所成的角
例5. 四稜錐中，底面為平行四邊形，側面底面．已知，，，．
（ⅰ）證明；（ⅱ）求直線與平面所成角的大小．
解答過程：（ⅰ）作，垂足為，鏈結，由側面底面，得底面．
因為，所以，
又，故為等腰直角三角形，，由三垂線定理，得．
（ⅱ）由（ⅰ）知，依題設，
故，由，，，得 ，． 的面積．
鏈結，得的面積
設到平面的距離為，由於，得，解得．
設與平面所成角為，則．
所以，直線與平面所成的我為．
小結：求直線與平面所成的角時，應注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關係；（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟：①構造——作出斜線與射影所成的角，②證明——論證作出的角為所求的角，③計算——常用解三角形的方法求角，④結論——點明直線和平面所成的角的值.
考點6 二面角
例6．如圖，已知直二面角，，，， ，，直線和平面所成的角為．（i）證明
（ii）求二面角的大小．
過程指引：（i）在平面內過點作於點，鏈結．
因為，，所以，
又因為，所以．
而，所以，，
從而，又，
所以平面．因為平面，故．
（ii）由（i）知，，又，，
，所以．過點作於點，鏈結，由三垂線定理知，．故是二面角的平面角．
由（i）知，，所以是和平面所成的角，則，
不妨設，則，．
在中，，所以，於是在中，．故二面角的大小為．
小結：本題是乙個無稜二面角的求解問題.解法一是確定二面角的稜，進而找出二面角的平面角.
無稜二面角稜的確定有以下三種途徑：①由二面角兩個麵內的兩條相交直線確定稜，②由二面角兩個平面內的兩條平行直線找出稜，③補形構造幾何體發現稜；解法二則是利用平面向量計算的方法，這也是解決無稜二面角的一種常用方法，即當二面角的平面角不易作出時，可由平面向量計算的方法求出二面角的大小.
考點7 利用空間向量求空間距離和角
例7． 如圖，已知是稜長為的正方體，
點在上，點在上，且．
（1）求證：四點共面；
（2）若點在上，，點在上，，垂足為，求證：平面；
（3）用表示截面和側面所成的銳二面角的大小，求．
過程指引：（1）如圖，在上取點，使，鏈結，，則，．
因為，，所以四邊形，都為平行四邊形．從而，．
又因為，所以，故四邊形是平行四邊形，由此推知，從而．因此，四點共面．
（2）如圖，，又，所以，
．因為，所以為平行四邊形，從而．
又平面，所以平面．
（3）如圖，鏈結．因為，，所以平面，得．於是是所求的二面角的平面角，即．
因為，所以， ．
立體幾何知識點 文科 教師
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知識點立體幾何
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