第一章函式、極限、連續
注 「★」表示方法常用重要.
一、求函式極限的方法
★1.極限的四則運算；★2.等價量替換；★3.
變數代換；★4.洛比達法則；★5.重要極限；★6.
初等函式的連續性；7.導數的定義；8. 利用帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式；9.
夾逼定理；10利用帶有拉格朗日餘項的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 無窮小量乘以有界量仍是無窮小量等.
★二、已知函式極限且函式表示式中含有字母常數，確定字母常數數值的方法
運用無窮小量階的比較、洛必達法則或帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式去分析問題，解決問題。
三、無窮小量階的比較的方法
利用等價無窮小量替換或利用洛必達法則，無窮小量的等價代換或利用帶有皮亞諾餘項的佩亞諾餘項公式展開
四、函式的連續與間斷點的討論的方法
如果初等函式，若在處沒有定義，但在一側或兩側有定義，則是間斷點，再根據在處左右極限來確定是第幾類間斷點。如果是分段函式，分界點是間斷點的懷疑點和所給範圍表示式沒有定義的點是間斷點。
五、求數列極限的方法
★1.極限的四則運算；★2. 夾逼定理；★3. 單調有界定理；
4.；5. 數列的重要極限；6.用定積分的定義求數列極限；7. 利用若收斂，則；8. 無窮小量乘以有界量仍是無窮小量；9.等價量替換等.
【評注】1. 數列的項有多項相加或相乘式或時，有無窮項相加或相乘，且不能化簡，不能利用極限的四則運算，
2.如果數列的項用遞推關係式給出的數列的收斂性或證明數列極限存在，並求極限.用單調有界定理
3.對數列極限的未定式不能用洛比達法則。因為數列作為函式不連續，更不可導，故對數列極限不能用洛比達法則.
4.由數列中的通項是的表示式，即而是特殊與一般的關係，由歸結原則知
★5. 有或
第二章一元函式微分學
★一、求一點導數或給處在一點可導推導某個結論的方法：
利用導數定義，經常用第三種形式
二、研究導函式的連續性的方法：
1.求出，對於分段函式的分界點要用左右導數定義或導數定義求. 2.的連續性，
★三、求初等函式的導數的方法：
在求導之前盡可能的化簡，把函式的乘除盡量化成加減，利用對數微分法轉化為方程確定隱函式的求導等等，從而簡化求導過程. 要熟練記住基本初等函式的導數公式、導數的四則運算，理解並掌握復合函式的求導法則.
四、求分段函式的導數的方法：
求分段函式導數不在分界點可直接利用求導公式。在分界點
（1）若在分界點兩側的表示式不同，求分界點的導數有下述兩種方法：
（i）利用左右導數的定義。 （ii）利用兩側導函式的極限。
（2）若在分界點兩側的表示式相同，求分界點的導數有下述兩種方法：
（i）利用導數定義ii）利用導函式的極限。
★五、求引數式函式的導數的方法
若，則★六、求方程確定隱函式的導數的方法：
解題策略求方程確定的隱函式的導數時，由y是x的函式，此時方程兩邊是關於x表示式的恒等式，兩邊同時對x求導，會出現含有y'的等式，然後把y'看成未知數解出即可。
★七、求變上下限函式的導數的方法：
解題策略利用變上下限函式求導定理，注意化成變上下限函式的成標準形式
八、求函式的高階導數的方法：
求導之前，對函式進行化簡，盡量化成加減，再用高階導數的運算法則
九、方程根的存在性
把要證明的方程轉化為f(x)=0的形式。對方程f(x)=0用下述方法：
★ 1．根的存在定理若函式f(x)在閉區間上連續，且則至少存在一點，使
★2．若函式f(x)的原函式在上滿足羅爾定理的條件，則f(x)在（a,b）內至少有乙個零值點.
3．用泰勒公式證明方程根的存在性.
4．實常係數的一元n次方程，當n為奇數時，至少有乙個實根。
證設由不妨設a0>0。由於當x>n0時，都有f(x)>1>0。
取b>n0，有f(b)>0，，當x<-n1時，都有f(x)<-1<0。
取a<-n1 5．實係數的一元n次方程在複數範圍內有n個複數根，至多有n個不同的實數根。
★ 6．若f(x)在區間上連續且嚴格單調，則f(x)=0在內至多有乙個根。若函式在兩端點的函式（或極限）值同號，則f(x)=0無根，若函式在兩端點的函式（或極限）值異號，則f(x)=0有乙個根。
★7．求具體連續函式f(x)=0在其定義域內零值點的個數：首先求出f(x)的嚴格單調區間的個數，若有m個嚴格單調區間，則至多有m個不同的根。至於具體有幾個根，按照6研究每個嚴格單調區間是否有乙個根。
8.若函式f(x)的原函式f(x)在某點x0處取極值，在x0處導數也存在，由費馬定理知f'(x0)=0，即f(x0)=0。（用的較少）
★9.方程中含有字母常數，討論字母常數取何值時，方程根有幾個根地方法：（1）把要證明的方程轉化為的形式，求出的單調區間、極值，求出每個嚴格單調區間兩端函式（極限）值，畫草圖，討論曲線與軸相交的情況，確定方程根的個數.
；（2）把要證明的方程轉化為f(x)=0的形式。求出f(x)的單調區間，極值，求出每個嚴格單調區間兩端函式（極限）值，畫草圖，討論曲線與x軸相交的情況，確定方程根的個數.
【評注】 在證明方程根的存在性的過程中，我們經常要用拉格朗日定理，積分中值定理，有時也用到柯西中值定理來證明滿足方程根的存在性所需的條件，然後利用上述的方法來證明方程根的存在性。
十、證明適合某種條件下的等式
★ 1. 常用的方法有羅爾定理、泰勒公式、根的存在定理、柯西定理、拉格朗定理；
2. 如果證明適合某種條件下的等式，要用兩次上面的定理3. 證明存在(a, b),使有乙個根.而
令, 即
故對在上滿足羅爾定理條件,至少存在一點,使即.十
一、證明不等式的方法：
★1．拉格朗日定理適用於已知函式導數的條件，證明涉及函式（值）的不等式
★2．泰勒公式適用於已知函式的高階導數的條件，證明涉及函式（值）或低階導函式（值）的不等式.
★3．單調性定理.（i）對於證明數的大小比較的不等式，轉化為同乙個函式在區間兩端點函式（或極限）值大小的比較，利用函式在區間上的單調性進行證明.
(ii) 對於證明函式大小比較的不等式，轉化為同乙個函式在區間內上任意一點函式值與區間端點函式（或極限）值大小的比較，利用函式在區間上的單調性進行證明.
4．利用函式最大值，最小值證明不等式.
把待證的不等式轉化為區間上任意一點函式值與區間上某點處的函式值大小的比較，然後證明為最大值或最小值，即可證不等式成立。
★5．利用函式取到唯一的極值證明不等式.
把待證的不等式轉化為區間上任意一點函值與區間內某點處的函式值大小的比較，然後證明為唯一的極值且為極大值或極小值，即為最大值或最小值，即可證不等式成立。
6．用柯西定理證明不等式.
7．利用曲線的凹向性證明不等式.
第三章一元函式積分學
★1.基本積分表（13個公式，略）
★2.要知道下列重要不定積分的推導過程，記住這些不定積分結果.
1.；2.；
3.；4.；5. ；
6.；7.；
8.； 9. ;
10.;
11. .（＞0）.
證令,原式
作出直角三角形,可知於是
原式12.。
一、求不定積分的方法：
★不定積分的線性運算法則、湊數分法、變數代換法、分部積分法，還有有理式的不定積分、三角函式有理式的不定積分、無理式的不定積分理論上的方法也要知道.
★二、涉及到定積分的方程根的存在性的方法：
利用積分中值理，定積分的13條性質，尤其是變上限積分求導定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。
★三、涉及到定積分的適合某種條件的等式的方法：
利用積分中值理，定積分的13條性質，尤其是變上限積分求導定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。
★四、涉及到定積分的不等式的方法：
利用積分中值理，定積分的13條性質，尤其是變上限積分求導定理及微分中值定理，證明方法與技巧與第三章我們介紹的證明思想完全類似。
★五、涉及到定積分的等式證明的方法：
用變數代換較多或定積分的條性質、週期函式積分的性質.
★六、定積分計算的方法：
利用牛—萊公式、定積分的線性運算法則、湊微分、變數代換、分部積分計算及定積分的其他公式.
微元法要搞懂
★七、定積分的幾何應用
1.求平面圖形的面積（略）
2.（連續），ox軸及直線x=a, x=b所圍成的曲邊梯形繞ox軸旋轉而成的旋轉體的體積vx為
3.（連續）ox軸及直線x=a, x=b所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉所成立體的體積vy為
4. 求由連續曲線軸及直線所圍平面圖形繞x軸旋轉所形成的旋轉體的側面面積
5.面曲線的弧長：給定曲線弧的方程為，
其中，在上連續，且，則曲線弧是可求長的。其弧長s可表示為
八、定積分在物理中的應用：1.液體的靜壓力.2功.3.引力.
第十一章級數
★一、個重要的級數
1．p一級數（p為常數），當p>1時，該級數收斂（但和不能用乙個具體的式子表示出來），當時，該級數發散。
2．幾何級數（等比級數）（q為常數），當時，該級數收斂，其和為，當時，該級數發散。
七個常用的麥克勞林展開式：
二、斷正項級數的收斂性方法：
★1比判別法. ★2根值判別法. ★3.判別法. ★4.比較判別法的極限形式5.前n項和有上界.6發散。7.定義
三、斷一般級數收斂性的方法：
★1、絕對值的比值判別法 ★ 2、絕對值的根值判別法 ★ 3、若收斂，則絕對收斂 ★4、交錯級數的萊布尼茲判別法 5若不存在，則發散. 6定義
四、級數和函式的方法：
1、利用
及個基本函式的展開式，右邊是冪級數，左邊為和函式。
★利用線性運算法則求和函式：即把所給冪級表示成簡單冪級數的線性組合，而這些簡單冪級和能求出和函式，從而求出所給冪級數的和函式。
★2、設，
若能求出，則特別地時，設
若能求出，則
這種方法是先求導，再積分
★3、設
微積分1方法總結
第一章函式 極限 連續 注 表示方法常用重要.一 求函式極限的方法 1.極限的四則運算 2.等價量替換 3.變數代換 4.洛比達法則 5.重要極限 6.初等函式的連續性 7.導數的定義 8.利用帶有佩亞諾餘項的麥克勞林公式 9.夾逼定理 10利用帶有拉格朗日餘項的泰勒公式 11.拉格朗日定理 12....
微積分總結
第一章函式與極限 第一節函式 1.1 函式內容網路圖 區間定義域不等式 定義集合 對應法則 法表達方法圖象法 初等函式 解析法非初等函式 單調性函式的特性奇偶性 函式週期性 有界性定義反函式重要的函式存在性定理 復合函式 符號函式 幾個具體重要的函式取整函式 其中 x 表示不超過x的最大整數.狄里克...
微積分總結
第一章知識點 1.極限的定義 定義重在理解 2.兩邊夾法則先看它是否有明顯的界限，再有極限相同入手。但要注意 夾的時候一定要保證不等關係一直成立 3.在證明不等關係時，二項式定理是乙個不錯的工具，尤其是涉及到n次冪的問題 p9 例題3 4.復合函式問題中df zg 對於乙個復合函式f g x 那麼g...