1高中數學必修四第一章：三角函式
1 知識框圖：
2 知識清單：
2.1角的概念及其推廣：
2.1.1 角可以看成平面內一條射線繞著端點，從乙個位置旋轉到另乙個位置所成的圖形。
2.1.2 按逆時針方向旋轉形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉形成的角叫0角。
2.1.3 當角的頂點與座標原點重合，角的始邊與x 軸的非負半軸重合，那麼角的終邊在第幾象限，就叫第幾象限角。 典型例題:
1、若銳角α的終邊與它的10倍角終邊相同，求α 解：由題意，得 10α=k ·360°+α（k ∈zk ·40° （k ∈z又 α為銳角
角的概念
角的度量任意角的三角函式
正弦曲線的變換同
角關係式弧度制
角度制誘導公式
三角函式的定義
y=sinx →y=asin(ωx+φ)
三角函式線
三角函式性質
三角函式圖象
描點法三角函式線法
五點法平移法
定義域值域
單調性週期性
奇偶性有界性
圖象性質
變換步驟
∴ α=40°或80° 2、若α是第一象限的角，則-α是（ d ）
a 、第一象限的角
b 、第一或第四象限的角
c 、第二或第三象限的角
d 、第四象限的角基礎訓練：
1、若α是第四象限的角，則πα-是（ ）
a.第一象限的角
b.第二象限的角
c.第三象限的角
d.第四象限的角
2、若角α與角β的終邊關於y 軸對稱，則α與β的關係是綜合訓練：
1、若角0600的終邊上有一點()a ,4-，則a 的值是（ ）
a ．34
b ．34-
c ．34±
d ．3
2、若角α與角β的終邊互為反向延長線，則α與β的關係是
3、已知,9090,90900000<<-<<-βα求2
βα-的範圍。
提高訓練：
1、若α是第三象限的角，β是第二象限的角，則2β
α-是第象限的角.
2.2 角度制與弧度制的互換： 2.2.1
弧度制定義 b
rab 的長=半徑
aaob=1弧度
2πrad=360° πrad=180° n °=
180n rad αrad=α
π180
2.2.2圓弧的長等於半徑時，這條圓弧所對的圓心角叫1rad 的角。 2.2.3半徑為r 的圓中，弧長為l 的弧所對應的圓心角的弧度數是
rl 。
2.2.4扇形半徑為r ，圓心角的弧度數是α，則這個扇形的弧長l=|α|r ，面積 s=
21|α|r 2,周長c=|α|r+2r 。
典型例題：
1、將分針撥快15分鐘，則分針轉過的弧度數是（ ca 、-3
π b 、
3π c 、-2
π d 、2π
2、半徑為r ，中心角是α（弧度）的扇形的面積為（ a ） a 、
21r 2α b 、
21r α 2 c 、
21r α d 、
21r 2α
2基礎訓練：
or 1rad
1、與02002-終邊相同的最小正角是
2、設扇形的周長為8cm ，面積為24cm ，則扇形的圓心角的弧度數是綜合訓練：
1、若角0600的終邊上有一點()a ,4-，則a 的值是（ ）
a ．34
b ．34-
c ．34±
d ．3 2、與02002-終邊相同的最大負角是
3、已知扇形的周長為6cm ，面積為2cm 2，求扇形中心角的弧度數。
提高訓練：
1、如果1弧度的圓心角所對的弦長為2，那麼這個圓心角所對的弧長為（ ） a ．
5.0sin 1 b ．sin 0.5 c ．2sin 0.5 d ．tan 0.5
2、乙個扇形o a b 的周長為20，求扇形的半徑，圓心角各取何值時，此扇形的面積最大？
2.3三角函式的定義：
2.3.1設α是乙個任意角，α的終邊上任意一點p 的座標是（x,y ），它與原點的距離r ，那麼sin α=y
x，cos α=x y ,tan α=y x ,cot α=x y ,sec α=r x ,csc α=ry
。 典型例題： 1、已知：α=3π5
,則點p （cos α,cot α）所在的象限是（ ) a 、第一象限 b 、第二象限 c 、第三象限 d 、第四象限解： π
2<3π
5 <π
∴ cos α<0,cot α<0
因此點p 在第三象限，故應選擇c
2、利用單位圓中的三角函式線，確定下列各角的取值範圍 （1）-1≤sin θ<1
2； （2）sin θ解：(1) 2k π- 76 π<0<2k π+π6 （k ∈z ）(2) 2k π- 3
4 π<0<2k π+π4
（k ∈z ）
基礎訓練：
1、設α角屬於第二象限，且2
cos2
cosα
α-=，則2α
角屬於（ ）
a ．第一象限
b ．第二象限
c ．第三象限
d ．第四象限 2、給出下列各函式值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；
③)10tan(-；④
917tan
cos 107sinπππ
.其中符號為負的有（ ）
a ．①
b ．②
c ．③
d ．④ 3、02120sin 等於（ ） a ．2
3±b ．2
3 c ．2
3- d ．2
14、設θ分別是第
二、三、四象限角，則點)cos ,(sin θθp 分別在第象限．
5、設m p 和o m 分別是角
1817π
的正弦線和余弦線，則給出的以下不等式：
①0<<<； ③0<其中正確的是綜合訓練：
1、若α為第二象限角，那麼α2sin ，2
cosα，α
2cos 1，
2cos
1α中，其值必
為正的有（ ）
a ．0個
b ．1個
c ．2個
d ．3個 2、若2
3cos -=α，且α的終邊過點)2,(x p ，則α是第_____象限角，x =_____。
3、已知
>--<=,
1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34
()31(f f +的值。
提公升訓練：
1、化簡0sin 600的值是a ．0.5 b ．0.5- c ．
32d ．32-
2、已知sin sin αβ>，那麼下列命題成立的是a.若,αβ是第一象限角，則cos cos αβ> b.若,αβ是第二象限角，則tan tan αβ> c.
若,αβ是第三象限角，則cos cos αβ> d.若,αβ是第四象限角，則tan tan αβ>
3、若θ為銳角且2cos cos 1-=--θθ，則θθ1cos cos -+的值為（ ）
a ．22
b ．6
c ．6
d ．4 2.4同角三角函式的基本關係： 2.4.1 平方關係：sin 2x+cos 2x=1 2.4.2 商數關係：tanx=sinx
cosx 2.4.3 倒數關係：tanx ·cotx=1 典型例題： 1、已知：α=3π5
,則點p （cos α,cot α）所在的象限是（ ) a 、第一象限 b 、第二象限 c 、第三象限 d 、第四象限解： π
2<3π
5 <π
∴ cos α<0,cot α<0 因此點p 在第三象限，故應選擇c
2、已知tan α=m,求sin α的值。 解：（1）當m=0時，即tan α=
sin α
cos α
=0(此時α在x 軸上sin α=0
(2) 當m>0時，則α為第一或第三象限角
當α為第一象限角時，1sin 2α =1+1tan 2α =1+1
m 2∴sin α=mm
m +1
當α為第三象限角時，sin α=- m
mm +1
（3）當m<0時，則α為第二或第四象限角
當α為第二象限角時，sin α>0sin α=-mm
m +1
當α為第四象限角時，sin α<0sin α=m
mm +1
基礎訓練： 1、已知4sin 5
α=，並且α是第二象限的角，那麼tan α的值等於（ ）
a.43
-b.34
- c.4
3 d.34
2、已知1
tan tan αα
，是關於x 的方程2230x kx k -+-=的兩個實根，且
παπ2
73<<，求α
αsin cos +的值．
3、已知2tan =x ，求x
x x x sin cos sin cos -+的值。
4、已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且， 求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值。
綜合訓練：
1、已知)1(,sin <=m m α，παπ
<<2，那麼=αtan （ ）．
a ．2
1mm -
b ．2
1mm --
c ．2
1mm -±
d ． m
m 21-±
2、若角α的終邊落在直線0=+y x 上，則α
αααcos cos 1sin 1sin 22-+
-的值等於
（ ）．
a ．2
b ．2-
c ．2-或2
d ．0 3、已知3tan =α，2
3παπ<
<，那麼ααsin cos -的值是（ ）． a ．23
1+-b ．
231+
- c ．
231- d ．23
1+4、已知2tan =x ，（1）求x
x 22
c o s
41s i n32+
的值。（2）求x
x x x 2
2c o s
c o s
si n s
i n 2+-
的值。5、求證：22(1sin )(1cos )(1sin cos
提公升訓練： 1、若
∈3,0πα，則α
sin log33
等於（ ）
a ．αsin
b ．α
sin 1 c ．αsin - d ．α
cos 1-
2、求6644
1sin cos 1sin cos αααα
----的值。
3、已知,tan tan ,sin sin θθb a ==其中θ為銳角，
求證：1
1cos 22
--=b a θ
2.5誘導公式：
2.5.1法則：奇變偶不變，符號看象限） 2.5.2公式如下：
sin(-x)=-sinxcos(-x)=cosx ； sin(π
2 -x)=cosx ； cos(π2
-x)=sinx ；
sin(π+x)=-sinx ； cos(π+x)=-cosx ； sin(π-x)=sinx ； cos(π-x)=-cosx ； 典型例題：
1、已知cos （π
6 -α)=3
3 ,求cos(-5π
6 +α）-sin 2(α- π6
)的值。
解： cos(-
5π6 +α）=cos[π-(π6
cos （π
6 -α) =- 33
∴ sin 2(α- π6 )=1- cos 2（π6 -α)=23
∴ 原式=- 3
3 - 2
3 =- 32+3 基礎訓練：
1、化簡：
)sin()
360cos()
810tan()450
tan(1
)900
tan()
540sin(0
0x x x x x x --
----
綜合訓練：
1、化簡：00000360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m2.6三角函式的影象與性質:
2.6.1完成如下**，回顧三角函式影象與性質
函式 y=sinx y=cosx y=tanx
影象 （乙個週期內影象） y 0xy0x
y0 x
定義域值域週期性奇偶性
單調性單增區間： 單減區間：
單增區間： 單減區間：
單增區間：
2.6.2三角函式影象的變換（以正弦函式為例）： y=sinx →y=asin(ωx+φ)
ω>1，橫座標縮短到原來的1
ω ；>0，向左平移單位
0<ω<1，橫座標伸長到原來的1
ω ；<0，向左平移單位
>0，向左平移單位；ω>1，橫座標縮短到原來的1
<0，向左平移單位；0<ω<1，橫座標伸長到原來的1ω
典型例題：
1、求函式y=-1cos 22x 的最小正週期。 解： y=-1cos 22x =sin 22x =x 2sin
y=sin ωx y=sinx
y=sin （x+φ)
y=sin （ωx+φ) y=sin （ωx+φ) y=sina （ωx+φ)
橫伸縮變換
平移變換
平移變換
橫伸縮變換
a>1，縱座標伸長為原來的a 倍；0f(x+
2π)= )
2(2sin π
+x = x 2sin - =f(x)
∴ 函式的最小正週期為2π。
2、要得到函式y=3cos(2x-π4
7)的影象c ，需要將函式y=3sin2x 的影象c 0經過
平移得到，試求路程最小的平移。 解：（1） y=3cos(2x-π4
7)=3sin2（x-π85)
∴ 將c o 向右平移π85
可以得到c (2)有 y=3cos(2x-π4
7)=3sin(2x-453sin(2x+
43π)=3sin2(x+
83π)
∴ 將c o 向左平移8
3π可以得到c
綜上（1）（2）可知，由c o 平移得到c 的路程最小的平移為向左平移8
3π。3、求函式y=
xx sin 21)tan 1(lg --的定義域。
解：根據題意得： 1-tanx>0 （1）
1-2sinx>0 （2） 在（-2
π，π2
3）內，滿足（1）式的x 範圍為：（-2
π，4π）（2π，
45π），
滿足（2)式的x 範圍為（-2π，6
π）（π65
，π23）
∴ x 的範圍為（-2π，6
π）（π65，4
5π）∴函式的定義域為
基礎訓練：
1、函式sin(2)(0)y x π=+≤≤是r 上的偶函式，則的值是（ ） a ．0 b ．4π
c.2πd.π
2、將函式sin()3
y x π
=-的圖象上所有點的橫座標伸長到原來的
2倍（縱座標不
變），再將所得的圖象向左平移3π
個單位，得到的圖象對應的解析式是（ ）
a ．1sin
2y x
= b ．1sin()2
2y x π=-
c.1sin()2
6y x π
=- d.sin(2)6
y x π
=-3、函式)6
52cos(
3π-=x y 的最小正週期是（ ）
a ．5
2π b ．2
5π c ．π2 d ．π5
4、函式x
x y cos 2cos 2-+=
的最大值為________.
5、（1）求函式1sin 1
log2-=x
y 的定義域。
（2）設()sin(cos ),(0)f x x x π=≤≤，求()f x 的最大值與最小值。
綜合訓練:
1、在)2,0(π內，使x x cos sin >成立的x 取值範圍為（ ）
a ．)4
5,()2,4b ．),4(
ππc ．)45,4
(ππd ．)
23,45(),4
(ππππ
2、已知函式()sin(2)f x x =+的圖象關於直線8
x π=
對稱，則可能是（ ）a.2
πb.4π-
c.4πd.
34π3、已知a b c 是銳角三角形，sin sin ,cos cos ,p a b q a b =+=+則（ ） a.p q < b.p q > c.
p q = d.p 與q 的大小不能確定
4、如果函式()sin()(02)f x x πθθπ=+《的最小正週期是t ,且當2x =時取得最
大值,那麼（ ） a.2,2t π
θ==b.1,t θπ==
c.2,t θπ==
d.1,2
t πθ==
5、函式)3
2cos(π-
-=x y 的單調遞增區間是
6、函式)sin(cos lg x y =的定義域為
7、（1）求函式x
x y tan log
221++=
的定義域。
（2）設()cos(sin ),(0)g x x x π=≤≤，求()g x 的最大值與最小值。
8、判斷函式x
x x x x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=的奇偶性。
提高訓練：
1、函式22()lg(sin cos )f x x x =-的定義城是a.322,4
4x k x k k z ππππ-
<<+∈ b.522,44x k x k k z ππππ
+<<+∈
c.,4
4x k x k k z π
πππ-
<<+∈ d.3,44x k x k k z ππππ+<<+∈
2、已知函式()2sin()f x x ω=+對任意x 都有(
)(),6
6f x f x π
π+=-則()6
f π等於
（ ）。
a. 2或0
b. 2-或2
c. 0
d. 2-或0 3、函式2cos 3cos 2++=x x y 的最小值為（ ）
a ．2
b ．0
c ．1
d ．6
4、若函式()sin 2tan 1f x a x b x =++，且(3)5,f -=則(3)f
5、已知函式)(x f y =的圖象上的每一點的縱座標擴大到原來的4倍，橫座標擴大到原來的2倍，然後把所得的圖象沿x 軸向左平移2π
，這樣得到的曲線和
x y sin 2=的圖象相同，則已知函式)(x f y =的解析式為
6、已知函式52sin cos 22++-+=a a x a x y 有最大值2，試求實數a 的值。
7、求函式π,0,cos sin cos sin ∈+-=x x x x x y 的最大值和最小值。
8、已知定義在區間2[,
]3ππ-上的函式()y f x =的圖象關於直線6π-
=x 對稱，
當2[,]63
x ππ∈-
時，函式)2
2,0,0()sin()(π
πωω<
<->>+=a x a x f ，
其圖象如圖所示. (1)求函式)(x f y =在]3
2,[ππ-的表示式；
(2)求方程2
2)(=
x f 的解. x
yo-π1
6x π=-
32π6π
三角函式必修4複習
知識梳理 1 誘導公式口訣 2 三角函式的影象和性質 3 和差倍角的三角函式 1活用 輔助角公式 2活用 3 倍角 活用 降冪公式 4 平面向量 自我檢測 1 若角和角的終邊關於軸對稱，則下列等式恆成立的是 a.b.c.d.2 若，則角的終邊一定落在直線 ab cd 3 已知，則等於 abcd.7 ...
必修4三角函式 權威總結
專題輔導一三角函式的基本性質 1.特殊角的三角函式值 2 角度制與弧度制的互化 1rad 57.30 57 18 1 0.01745 rad 3.任意角的三角函式 設是乙個任意角，它的終邊上一點p x,y r 1 正弦sin 余弦cos 正切tan 2 三角函式在各象限的符號 一全二正弦，三切四余弦...
必修4第一章三角函式
三角函式測試題 滿分100分，時間100分鐘 姓名班級得分 一 選擇題 每題3分，共30分 1 的值是 abcd 2 若在 a 第一 二象限 b 第 一 三象限 c 第 一 四象限 d 第 二 四象限 3 若是三角形的內角，且，則等於 ab 或cd 或 4 已知函式對任意都有則等於 a.或 b.或 ...