反比例函式知識點總結
知識點1 反比例函式的定義
一般地，形如（k為常數，）的函式稱為反比例函式，它可以從以下幾個方面來理解：
⑴x是自變數，y是x的反比例函式；
⑵自變數x的取值範圍是的一切實數，函式值的取值範圍是；
⑶比例係數是反比例函式定義的乙個重要組成部分；
⑷反比例函式有三種表示式：
定值）（）；
⑸函式（）與（）是等價的，所以當y是x的反比例函式時，x也是y的反比例函式。
（k為常數，）是反比例函式的一部分，當k=0時，，就不是反比例函式了，由於反比例函式（）中，只有乙個待定係數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函式的表示式。
知識點2用待定係數法求反比例函式的解析式
由於反比例函式（）中，只有乙個待定係數，因此，只要一組對應值，就可以求出k的值，從而確定反比例函式的表示式。
知識點3反比例函式的影象及畫法
反比例函式的影象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位於第
一、第三象限或第
二、第四象限，它們關於原點對稱，由於反比例函式中自變數，函式值，所以它的影象與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近座標軸，但永遠達不到座標軸。
反比例的畫法分三個步驟：⑴列表；⑵描點；⑶連線。
再作反比例函式的影象時應注意以下幾點：
①列表時選取的數值宜對稱選取；
②列表時選取的數值越多，畫的影象越精確；
③連線時，必須根據自變數大小從左至右（或從右至左）用光滑的曲線連線，切忌畫成折線；
④畫影象時，它的兩個分支應全部畫出，但切忌將影象與座標軸相交。
知識點4反比例函式的性質
★關於反比例函式的性質，主要研究它的影象的位置及函式值的增減情況，如下表：
注意：描述函式值的增減情況時，必須指出「在每個象限內……」否則，籠統地說，當時，y隨x的增大而減小，就會與事實不符的矛盾。
反比例函式影象的位置和函式的增減性，是有反比例函式係數k的符號決定的，反過來，由反比例函式影象（雙曲線）的位置和函式的增減性，也可以推斷出k的符號。如在第
一、第三象限，則可知。
★反比例函式（）中比例係數k的絕對值的幾何意義。
如圖所示，過雙曲線上任一點p（x，y）分別作x軸、y軸的垂線，e、f分別為垂足，
則☆ 反比例函式（）中，越大，雙曲線越遠離座標原點；越小，雙曲線越靠近座標原點。
☆ 雙曲線是中心對稱圖形，對稱中心是座標原點；雙曲線又是軸對稱圖形，對稱軸是直線y=x和直線y=－x。
經典例題透析
型別一： 反比例函式的概念
（一）反比例函式的定義
【例題】1、下列函式中是反比例函式的有填序號）
2、在函式中，自變數x的取值範圍是
（二）反比例函式的意義
【例題】1、k為何值時,是反比例函式。
2.已知函式（1）m是何值時，它是反比例函式？（2）它的影象位於哪些象限？y值怎樣隨x的變化而變化？
3、反比例函式y＝的圖象每一象限內，y隨x的增大而增大，則n＝_______．
（三） 「成反比例」的含義
【例題】1.已知y與x-1成反比例，並且x＝-2時y＝7，求：(1)求y和x之間的函式關係式； (2)當x=8時，求y的值(3)y＝-2時，x的值。
【練習】1.已知y=y1+y2，y1是關於的正比例函式，y2是關於的反比例函式；當時，,當時，；（1）求y關於x的函式解析式；（2）當時，求y的值。
型別二：確定反比例函式的解析式
【例題】當自變數取值為—1時，函式值為2，求反比例函式的關係式。
【練習】1、已知變數y與x成反比例，並且當x=3時，y=7.求y與x之間的函式關係式；
2、函式的影象經過點，則k的值為 。
3、如圖，p是反比例函式圖象上的一點，且點p到x軸的距離為3，到y軸的距離為2，求這個反比例函式的解析式．
型別三：反比例函式的影象及性質
【例題】1.已知反比例函式的影象過點（-3，-12），且雙曲線位於第
二、四象限，求m的值。
2、已知反比例函式的影象位於第
一、三象限，則k的取值範圍是
3.如下左圖，p是反比例函式圖象在第二象限上的一點，且矩形peof的面積為8，則反比例函式的表示式是
【練習】1、當a取何值時，函式為反比例函式，且其影象同一支上的點的縱座標隨橫座標的增大而增大，寫出此時的函式關係式，它的影象在哪個象限。
2．如上右圖，若點在反比例函式的圖象上，軸於點，的面積為3，則
型別四：同一座標系畫一次函式與反比例函式影象
【例題】1、如圖，函式在同一座標系中，圖象只能是下圖中的（ ）
abcd
2．已知關於x的函式y=k（x+1）和y=-（k≠0）它們在同一座標系中的大致圖象是（ ）．
【練習】1函式的圖象經過（，，則函式的圖象是（ ）
2、在同一座標系中，函式和的影象大致是（ ）
abcd
型別五：比較函式值或自變數的大小
【例題】1.在反比例函式的影象上有三點，，，，， 。若則下列各式正確的是（ ）
a． b． c． d．
2. 若點（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函式的圖象上的點，並且x1＜0＜x2＜x3，則下列各式中正確的是（ ）
a、y1＜y2＜y3 b、y2＜y3＜y1 c、y3＜y2＜y1 d、y1＜y3 ＜y2
【練習】1.已知點a（-3，y1），b（-2，y2），c（3，y3）都在反比例函式y=的圖象上，則（ ）．
a．y12．已知雙曲線經過點（－1，3），如果a()，b()在該雙曲線上，且＜＜0，那麼
3點a（a,b）、b（a－1，c）均在函式的圖象上，若a＜0，則ｂ與ｃ的大小關係是（ ）
a、ａ＞ｃ b、ｂ＜ｃ c、ｂ＝ｃ d、ｂ和ｃ的大小關係不能確定
4、已知反比例函式的影象上有兩點a(，)，b(，)，，則的值是（ ）（a）正數（b）負數（c）非正數（d）不能確定
5、設有反比例函式，（x1，y1）、（x2，y2）為其圖象上兩點，若x1＜0＜x2，y1＞y2，則k的取值範圍
型別六：反比例函式與一次函式的綜合問題
【例題】1．如圖，在直角座標系xoy中，一次函式y＝kx＋b的圖象與反比例函式的圖象交於
a(-2，1)、b(1，n)兩點。求上述反比例函式和一次函式的表示式；
2. 如圖所示，一次函式y＝ax＋b的圖象與反比例函式y＝的圖象交於a、b兩點，與x軸交於點c．已知點a的座標為（－2，1），點b的座標為（，m）．（1）求反比例函式和一次函式的解析式；（2）根據圖象寫出使一次函式的值小於反比例函式的值的x的取值範圍．
【練習】1．如圖，一次函式y=kx+b的圖象與反比例函式y=的圖象交於a、b兩點．（1）利用圖中的條件，求反比例函式和一次函式的解析式．（2）根據圖象寫出使一次函式的值大於反比例函式的值的x的取值範圍．
2.如圖，已知點a（4，m），b（-1，n）在反比例函式y=的圖象上，直線ab分別與x軸，y軸相交於c、d兩點，（1）求直線ab的解析式．（2）c、d兩點座標．
（3）s△aoc：s△bod是多少？
3．關於x的一次函式y=-2x+m和反比例函式y=的圖象都經過點a（-2，1）.
求：（1）一次函式和反比例函式的解析式；（2）兩函式圖象的另乙個交點b的座標；（3）△aob的面積．
型別七：反比例函式與實際問題
【例題】1．在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強p(pa) 是它的受力面積s(m2)的反比例函式，其影象如圖所示。(1)求p與s之間的函式關係式；(2)求當s=0.5m2時,物體承受的壓強p。
2.某汽車的功率p為一定值，汽車行駛時的速度v（公尺／秒）與它所受的牽引力f（牛）之間的函式關係如右圖所示：（1）這輛汽車的功率是多少？
請寫出這一函式的表示式；（2）當它所受牽引力為1200牛時，汽車的速度為多少千公尺／時？（3）如果限定汽車的速度不超過30公尺／秒，則f在什麼範圍內？
【練習】1． 某蓄水池的排水管每小時排水8m3，6小時可將滿池水全部排空．（1）蓄水池的容積是多少？
（2）如果增加排水管，使每小時的排水量達到q（m3），那麼將滿池水排空所需的時間t（h）將如何變化？
（3）寫出t與q的關係式．（4）如果準備在5小時內將滿池水排空，那麼每小時的排水量至少為多少？
（5）已知排水管的最大排水量為每小時12m3，那麼最少需多長時間可將滿池水全部排空？
2.某商場**一批名牌襯衣，襯衣進價為60元，在營銷中發現，該襯衣的日銷售量y（件）是日銷售價x元的反比例函式，且當售價定為100元/件時，每日可售出30件.（1）請寫出y關於x的函式關係式；（2）該商場計畫經營此種襯衣的日銷售利潤為1800元，則其售價應為多少元？
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