高一第二學期常見題型、方法與數學思想總結
一、常見題型
例1 已知.
(1)求的值.
(2)求的值.
解：(1)方法一：.
方法二：由題意可得，因為，所以.
.(2)方法一：把代入得，
.方法二：由題意可得，因為，所以.
(因為，所以分子分母可以同除以)
方法三：由題意可得，因為，所以.
由萬能公式可得，.
例2 已知函式的最小正週期為.
(1)求的值.
(2)求函式在區間上的最大值和最小值.
解：(1)
由題意可得，解得.
(本題利用二倍角公式及和差角公式將函式的解析式化為的形式)
(2)由(1)可知，
因為，，所以，，
因此，函式在區間上的最大值為，最小值為.
(可由函式的影象得出)
二、公式的靈活運用
例1 已知，求的值.
解：因為，，所以，
例2 已知，，求及的值.
解：因為，，所以，
因為，，所以，
.三、函式與方程思想
例1 已知某扇形的周長為，面積為，求該扇形的圓心角的弧度數.
解：設該扇形的圓心角為弧度，半徑為.
由題意可得① ②
由①，代入②得，解得，從而弧度.
四、分類討論思想
例1 已知函式在區間上的最大值比最小值大，求的值.
解：當時，函式在區間上是增函式，
因而，，，.
當時，函式在區間上是減函式，
因而，，，.
綜上可知：或.(本題分和兩種情況討論)
例2 已知中，三個內角所對的邊分別為，若，，的面積為，求的周長.
解：由得，即，.
因為，所以或.
由的面積為，得，，.
由餘弦定理，得，因為，
所以，，
當時，，，周長為.
當時，，，周長為.
綜上可知：的周長為或.(本題分和兩種情況討論)
例3 設的內角的對邊分別為，已知.
(1)若的面積等於，求.
(2)若，求的面積.
解：(1)由得，整理得①
由的面積等於得即②
由①②得.
(2)由得，
,或.(兩邊不能同時除以！)
當時，， ③
由①和③可得，的面積為.
當時，，由可得，，
的面積為.
綜上可知，的面積為.
例4 已知函式則函式的零點個數是個.
解：函式的零點就是的實數根.(關鍵是寫出的表示式)
當時，，
若即，則，
因而可化為，解得.
若即，則，
因而可化為，,解得,.
當時，若即，則，
因而可化為，,解得.
若即，則，
因而可化為，,解得.
綜上可知，函式的零點有個.
(本題先分與兩種情況討論，然後每種情況有分兩種情況討論，因而本題分兩個層次討論，屬於難題！)
五、等價轉化思想
方程在上有解(有實數根)求函式的值域.
方程在區間上有解(有實數根)求函式的值域.
不等式在上有解(解集不是空集)求的最大值..
不等式在區間上有解求函式的最大值.即
不等式恆成立求函式的最小值.
不等式在區間上恆成立求函式的最大值.即
例1若關於的方程在區間內有實數解，求的取值範圍.
解：即求函式在區間上的值域，
易知在上是減函式，，因而
例2 若關於的方程在區間上有解，求實數的取值範圍.
解：即求函式在區間上的值域，
易知在上的值域為，因而.
例3關於的方程在區間上恆有解，求實數的取值範圍.
解：即求函式在區間上的值域，設，則轉化為求函式在區間上的值域，利用函式影象，可知時，取最大值，時，取最小值.因此，.
例4 關於的不等式在區間上有實數解，求實數的取值範圍.
解：由題意可知在區間上有實數解，因為，，
設，由影象可知的值域為，因此.
變式訓練：
關於的不等式在區間上有實數解，求實數的取值範圍.
同例4，可得.
例5已知函式.若不等式在上恆成立，求實數的取值範圍.
解： ，
因為，，
所以，，，
因此，，
又，故即.
六、數形結合思想
例1 不等式對任意都成立，求實數的取值範圍.
解：由題意可知，函式的影象總在函式的影象上方，由影象可知：即也即解得.
例2設不等式的解集為，若，求實數的取值範圍.
解：由題意可知，函式的影象總在函式的影象上方，由影象可知：即也即，解得.
若關於方程在區間內有兩個相異實根，則實數的取值範圍是
若在區間內有兩個相異實數滿足，則實數的取值範圍是
有一同學在研究方程的實數解的個數時發現，將方程等價轉換為後，方程的解可視為函式的圖象與函式的影象交點的橫座標，結合該同學的解題啟示方程的解的個數為______個.
方程的解可視為函式的影象與函式的影象交點的橫座標.則方程的實數解的個數為______.
已知函式.
(1)求函式的增區間.
(2)當時，應將函式的影象向右至少平移多少個單位後，才能使平移後的函式為奇函式？記平移後的函式為，並求方程的所有根的和.
七、概括歸納思想
八、模擬聯想思想
已知點、是函式的影象上任意不同兩點，根據影象可知，線段總是位於、兩點之間函式影象的上方，因此有結論成立.運用模擬思想方法可知，若點、是函式的影象上的不同兩點，則類似地有成立.
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