高數(下)小結
一、微分方程複習要點
解微分方程時,先要判斷一下方程是屬於什麼型別,然後按所屬型別的相應解法
求出其通解.
一階微分方程的解法小結:
二階微分方程的解法小結:
齊次方程的通解為:
非齊次方程的特解的形式為:
主要:一階1、可分離變數方程、線性微分方程的求解;
2、二階常係數齊次線性微分方程的求解;
3、二階常係數非齊次線性微分方程的特解
二、多元函式微分學複習要點
一、偏導數的求法
1、顯函式的偏導數的求法
在求時,應將看作常量,對求導,在求時,應將看作常量,對求導,所運用的是一元函式的求導法則與求導公式.
2、復合函式的偏導數的求法
設,,,則
, 幾種特殊情況:
1),,,則
2),,則,
3),則,
3、隱函式求偏導數的求法
1)乙個方程的情況
設是由方程唯一確定的隱函式,則
,或者視,由方程兩邊同時對求導解出.
2)方程組的情況
由方程組兩邊同時對求導解出即可.
二、全微分的求法
方法1:利用公式
方法2:直接兩邊同時求微分,解出即可.其中要注意應用微分形式的不變性:
三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法
1)設空間曲線г的引數方程為 ,則當時,在曲線上對應點處的切線方向向量為,切線方程為
法平面方程為
2)若曲面的方程為,則在點處的法向量,切平面方程為
法線方程為
若曲面的方程為,則在點處的法向量,切平面方程為
法線方程為
四、多元函式極值(最值)的求法
1 無條件極值的求法
設函式在點的某鄰域內具有二階連續偏導數,由,,解出駐點,記,,.
1)若,則在點處取得極值,且當時有極大值,當時有極小值.
2) 若,則在點處無極值.
3) 若,不能判定在點處是否取得極值.
2 條件極值的求法
函式在滿足條件下極值的方法如下:
1)化為無條件極值:若能從條件解出代入中,則使函式成為一元函式無條件的極值問題.
2)拉格朗日乘數法
作輔助函式,其中為引數,解方程組
求出駐點座標,則駐點可能是條件極值點.
3 最大值與最小值的求法
若多元函式在閉區域上連續,求出函式在區域內部的駐點,計算出在這些點處的函式值,並與區域的邊界上的最大(最小)值比較,最大(最小)者,就是最大(最小)值.
主要: 1、偏導數的求法與全微分的求法;
2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法
3、最大值與最小值的求法
三、多元函式積分學複習要點
七種積分的概念、計算方法及應用如下表所示:
*定積分的幾何應用
定積分應用的常用公式:
(1)面積型區域的面積)
型區域的面積)
(2)體積
橫截面面積已知的立體體積)
(所圍圖形繞軸旋轉所得的立體體積)
(所圍圖形繞軸旋轉的立體體積)
(所圍圖形繞軸旋轉的立體體積)
(3)弧長
計算時注意:(1)正確選擇恰當的公式;(2)正確的給出積分上下限;(3)注意對稱性使問題簡化;(4)注意選擇恰當的積分變數以使問題簡化.
計算多元函式的積分時要注意利用對稱性簡化積分的計算:
1)、對
二、三重及第一類的線面積分,若積分區域關於變數對稱,則當被積函式關於為奇函式時,該積分為0,當被積函式關於變數為偶函式時,則該積分為相應一半區域積分的二倍.
2)、對第二類的線面積分,關於積分變數的對稱性理論與上相同,關於非積分變數
的對稱性理論與上相反.
3)、若積分區域的地位平等(即將表示區域的方程互換不變),則將被積函
數中互換積分不變.此稱之為輪換對稱性.
1、交換二次積分的積分次序;
2、化三重積分為球面座標或柱面座標下的三次積分;
3、公式計算法;
4、gaus公式計算法;
5、兩曲面所圍體積與旋轉體的體積計算.
6.平面圖形面積的計算。
01—08級昆明理工大學高等數學[下]期末試卷
昆明理工大學2001級高等數學[下]期末試卷
一、填空(每小題4分,共24分)
1.函式的定義域是函式在是間斷的.
2.設函式,則
3.函式在點(1,2)處沿軸負方向的方向導數等於
4.設,則曲面積分
5.設,則二重積分
6.如果微分方程的通解的所有任意常數的值確定後,所得到的微分方程的解稱之
為解.二、解答下列各題(每小題6分,共18分)
1.求函式(為常數)的全微分.
2.求曲面在點處的切平面方程和法線方程.
3.求微分方程的通解.
三、解答下列各題(每小題6分,共18分)
1.設而為可導函式,試計算.
2.計算三重積分其中是由曲面及所圍成的閉區域.
3.計算曲面積分,其中是柱面介於平面及之間部分的前側
四、(12分)求微分方程的通解.
五、(12分)求曲線積分其中:
(1)(8分)l為圓周的正向.
(2)(4分)l為橢圓的正向
六、(10分)求表面積為36,而體積為最大的長方體的體積.
七、(7分)討論函式在(0,0)處的
連續性.
昆明理工大學2002級高等數學(下)期末試卷
一.填空題(每小題4分,共40分)
1.設函式,則全微分dz
2.設函式具有一階連續偏導數,則
3.二重積分,改變積分次序後
4.直角座標系下的三次積分化為球座標系下的三次積分
5.若區域,則三重積分
6.當時,為某二元函式的全微分.
7.曲線積分,其中l是拋物線上從點到的一段弧,則
8.當為麵內的乙個閉區域d時,曲面積分與二重積分的關係為
9.二階常係數齊次線性微分方程的通解為yt': 'span', 'c': ' '}]
10. 二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式為yt': 'span', 'c': ' '}]
二.(10分)具有連續偏導數,證明由方程所確定
的函式滿足
三.(10分)由錐面及拋物面所圍立體體積
四.(10分)求螺旋線在處的切線方程及法平面方程.
五、(10分)利用高斯公式計算曲面積分,
其中具有二階連續導數,為上半球面與所圍成空間閉區域的整個邊界曲面的外側.
六.(10分)設曲線積分在右半平面內與路徑無關,其中可導且,求.
七.(10分)二階常係數非齊次線性微分方程,求其通解.
昆明理工大學2003級高等數學[下]期末試卷
一.填空題(每小題4分,共32分)
1.設函式,則
2.曲線處的切線方程為.
3.交換二次積分次序
4.設l為右半圓周:,則曲線積分 .
5.設∑為平面在第一卦限中的部分,則曲面積分 .
6.級數的斂斂性為
7.冪級數的收斂半徑r收斂區間為
8.求微分方程的通解為
二.解答下列各題(每小題7分,共35分)
1.設.
2.討論函式是否有極值.
3.求冪級數在收斂區間內的和函式.
4.求微分方程的特解.
5.求微分方程的通解.
三.(11分)利用格林公式計算曲線積分,其中為從原點的正弦曲線.
四.(11分)利用高斯公式計算曲面積分,其中是球面的內側.
五.(11分)求由錐面及旋轉拋物面所圍成的立體的體積.
昆明理工大學2004級高等數學[下]期末試卷
一.填空題(每小題4分,共32分)
1.設函式,則
2.曲線處的法平面方程為
3.設區域d由及所圍,則化二重積分為先的二次積分後的結果為
4.設l為圓弧:,則曲線積分
5.設,則曲面積分
6.級數收斂於
7.冪級數的收斂半徑r收斂區間為
8.二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式為y不要求計算)
二.解答下列各題(每小題7分,共28分)
1.求函式z=,其中具有一階連續偏導數,求.
2.討論的極值.
3.將函式展開成的冪級數,並求展開式成立的區間.
4.求微分方程的通解.
三.(10分)設l為沿順時針方向的上半圓,計算曲線積分.
四.(10分)求由球面及所圍成的立體的體積.
高數小結與各年試題
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