高數（下）小結
一、微分方程複習要點
解微分方程時，先要判斷一下方程是屬於什麼型別，然後按所屬型別的相應解法
求出其通解.
一階微分方程的解法小結：
二階微分方程的解法小結：
齊次方程的通解為：
非齊次方程的特解的形式為：
主要:一階1、可分離變數方程、線性微分方程的求解；
2、二階常係數齊次線性微分方程的求解；
3、二階常係數非齊次線性微分方程的特解
二、多元函式微分學複習要點
一、偏導數的求法
1、顯函式的偏導數的求法
在求時，應將看作常量，對求導，在求時，應將看作常量，對求導，所運用的是一元函式的求導法則與求導公式.
2、復合函式的偏導數的求法
設，，，則
， 幾種特殊情況：
1），，，則
2），，則，
3），則，
3、隱函式求偏導數的求法
1）乙個方程的情況
設是由方程唯一確定的隱函式，則
，或者視，由方程兩邊同時對求導解出.
2）方程組的情況
由方程組兩邊同時對求導解出即可.
二、全微分的求法
方法1：利用公式
方法2：直接兩邊同時求微分，解出即可.其中要注意應用微分形式的不變性：
三、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法
1）設空間曲線г的引數方程為 ，則當時，在曲線上對應點處的切線方向向量為，切線方程為
法平面方程為
2）若曲面的方程為，則在點處的法向量，切平面方程為
法線方程為
若曲面的方程為，則在點處的法向量，切平面方程為
法線方程為
四、多元函式極值（最值）的求法
1 無條件極值的求法
設函式在點的某鄰域內具有二階連續偏導數，由，，解出駐點，記，，.
1）若，則在點處取得極值，且當時有極大值，當時有極小值.
2） 若，則在點處無極值.
3） 若，不能判定在點處是否取得極值.
2 條件極值的求法
函式在滿足條件下極值的方法如下：
1）化為無條件極值：若能從條件解出代入中，則使函式成為一元函式無條件的極值問題.
2）拉格朗日乘數法
作輔助函式，其中為引數，解方程組
求出駐點座標，則駐點可能是條件極值點.
3 最大值與最小值的求法
若多元函式在閉區域上連續，求出函式在區域內部的駐點，計算出在這些點處的函式值，並與區域的邊界上的最大（最小）值比較，最大（最小）者，就是最大（最小）值.
主要: 1、偏導數的求法與全微分的求法；
2、空間曲線的切線及空間曲面的法平面的求法
3、最大值與最小值的求法
三、多元函式積分學複習要點
七種積分的概念、計算方法及應用如下表所示：
*定積分的幾何應用
定積分應用的常用公式：
(1)面積型區域的面積）
型區域的面積）
(2)體積
橫截面面積已知的立體體積）
（所圍圖形繞軸旋轉所得的立體體積）
（所圍圖形繞軸旋轉的立體體積）
（所圍圖形繞軸旋轉的立體體積）
(3)弧長
計算時注意：（1）正確選擇恰當的公式；（2）正確的給出積分上下限；（3）注意對稱性使問題簡化；（4）注意選擇恰當的積分變數以使問題簡化．
計算多元函式的積分時要注意利用對稱性簡化積分的計算：
1）、對
二、三重及第一類的線面積分，若積分區域關於變數對稱，則當被積函式關於為奇函式時，該積分為0，當被積函式關於變數為偶函式時，則該積分為相應一半區域積分的二倍.
2）、對第二類的線面積分，關於積分變數的對稱性理論與上相同，關於非積分變數
的對稱性理論與上相反.
3）、若積分區域的地位平等（即將表示區域的方程互換不變），則將被積函
數中互換積分不變.此稱之為輪換對稱性.
1、交換二次積分的積分次序；
2、化三重積分為球面座標或柱面座標下的三次積分；
3、公式計算法；
4、gaus公式計算法；
5、兩曲面所圍體積與旋轉體的體積計算．
6.平面圖形面積的計算。
2001—2011級昆明理工大學高等數學[下]期末試卷
昆明理工大學2001級高等數學[下]期末試卷
一、填空（每小題4分，共24分）
1．函式的定義域是函式在是間斷的.
2．設函式，則
3．函式在點（1，2）處沿軸負方向的方向導數等於
4．設，則曲面積分
5．設，則二重積分
6．如果微分方程的通解的所有任意常數的值確定後，所得到的微分方程的解稱之
為解.二、解答下列各題（每小題6分，共18分）
1．求函式（為常數）的全微分.
2．求曲面在點處的切平面方程和法線方程.
3．求微分方程的通解.
三、解答下列各題（每小題6分，共18分）
1．設而為可導函式，試計算.
2．計算三重積分其中是由曲面及所圍成的閉區域.
3．計算曲面積分，其中是柱面介於平面及之間部分的前側
四、（12分）求微分方程的通解.
五、（12分）求曲線積分其中：
（1）（8分）l為圓周的正向.
（2）（4分）l為橢圓的正向
六、（10分）求表面積為36，而體積為最大的長方體的體積.
七、（7分）討論函式在（0，0）處的
連續性.
昆明理工大學2002級高等數學（下）期末試卷
一．填空題（每小題4分，共40分）
1．設函式，則全微分dz
2．設函式具有一階連續偏導數，則
3．二重積分，改變積分次序後
4．直角座標系下的三次積分化為球座標系下的三次積分
5．若區域，則三重積分
6．當時，為某二元函式的全微分.
7．曲線積分，其中l是拋物線上從點到的一段弧，則
8．當為麵內的乙個閉區域d時，曲面積分與二重積分的關係為
9．二階常係數齊次線性微分方程的通解為yt': 'span', 'c': ' '}]
10. 二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式為yt': 'span', 'c': ' '}]
二．（10分）具有連續偏導數，證明由方程所確定
的函式滿足
三．（10分）由錐面及拋物面所圍立體體積
四．（10分）求螺旋線在處的切線方程及法平面方程.
五、（10分）利用高斯公式計算曲面積分，
其中具有二階連續導數，為上半球面與所圍成空間閉區域的整個邊界曲面的外側.
六．（10分）設曲線積分在右半平面內與路徑無關，其中可導且，求.
七．（10分）二階常係數非齊次線性微分方程，求其通解.
昆明理工大學2003級高等數學[下]期末試卷
一．填空題（每小題4分，共32分）
1．設函式，則
2．曲線處的切線方程為.
3．交換二次積分次序
4．設l為右半圓周：，則曲線積分 .
5．設∑為平面在第一卦限中的部分，則曲面積分 .
6．級數的斂斂性為
7．冪級數的收斂半徑r收斂區間為
8．求微分方程的通解為
二．解答下列各題（每小題7分，共35分）
1．設.
2．討論函式是否有極值.
3．求冪級數在收斂區間內的和函式.
4．求微分方程的特解.
5．求微分方程的通解.
三．（11分）利用格林公式計算曲線積分，其中為從原點的正弦曲線.
四．（11分）利用高斯公式計算曲面積分，其中是球面的內側.
五．（11分）求由錐面及旋轉拋物面所圍成的立體的體積.
昆明理工大學2004級高等數學[下]期末試卷
一．填空題（每小題4分，共32分）
1．設函式，則
2．曲線處的法平面方程為
3．設區域d由及所圍，則化二重積分為先的二次積分後的結果為
4．設l為圓弧：，則曲線積分
5．設，則曲面積分
6．級數收斂於
7．冪級數的收斂半徑r收斂區間為
8．二階常係數非齊次線性微分方程的特解形式為y不要求計算）
二．解答下列各題（每小題7分，共28分）
1．求函式z=，其中具有一階連續偏導數，求.
2．討論的極值.
3．將函式展開成的冪級數，並求展開式成立的區間.
4．求微分方程的通解.
三．（10分）設l為沿順時針方向的上半圓，計算曲線積分.
高數小結與各年試題
高數 下 小結 一 微分方程複習要點 解微分方程時，先要判斷一下方程是屬於什麼型別，然後按所屬型別的相應解法 求出其通解.一階微分方程的解法小結 二階微分方程的解法小結 齊次方程的通解為 非齊次方程的特解的形式為 主要 一階1 可分離變數方程 線性微分方程的求解 2 二階常係數齊次線性微分方程的求解...
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高數小結與各年試題
昆明理工大學2006級高等數學 下 期末試卷 一 填空題 每小題3分，共30分 1 設，則.2 設，則全微分.3 曲線處的切線方程為 4 交換二次積分次序，則.5 設有曲線 的起點為 0，0 終點為 1，1 則曲線積分 6 設曲面是錐面在柱面內部那一部分上側，則曲面積分 7 設具有連續偏導數，且 8...