第七章數學物理定解問題
數學物理定解問題包含兩個部分：數學物理方程（即泛定方程）和定解條件。
§7.1數學物理方程的匯出
一般方法： 第一確定所要研究的物理量u ,第二分析體系中的任意乙個小的部分與鄰近部分的相互作用,根據物理規律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在數學上為忽略高階小量.
）第三然後再把物理量u隨時間，空間的變為通過數學算式表示出來, 此表示式即為數學物理方程。
（一） 三類典型的數學物理方程
（1）波動方程：
此方程適用於各類波動問題。（特別是微小振動情況.）
（2）輸運方程：
此方程適用於熱傳導問題、擴散問題。
（3）laplace 方程：
穩定的溫度和濃度分布適用的數學物理方程為laplace 方程, 靜電勢u在電荷密度為零處也滿足laplace 方程 。
§7.2定解條件
定解條件包含初始條件與邊界條件。
（1） 初始條件的個數等於方程中對時間最高次導數的次數。例如波動方程應有二個初始條件, 一般選初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。而輸運方程只有乙個初始條件選為初始分布u（x,o）,而laplace 方程沒有初始條件。
（2） 三類邊界條件
第一類邊界條件： u( r ,t)|σ = f1）
第二類邊界條件： u n|σ = f2）
第三類邊界條件： ( u+hun)|σ= f （3）
其中h為常數.
7.3 二階線性偏微分方程分類
判別式波動方程是雙曲型的,輸運方程為拋物型的,而拉普拉斯方程為橢圓型的.
7.4 達朗貝爾公式
對一維無界的波動方程,當不考慮外力時,定解問題為
對半無界問題作延拓處理:
對第一類齊次邊界條件作奇延拓,而對第二類齊次邊界條件作偶延拓.
第八章分離變數法
8.1 分離變數法
主要步驟:
1.邊界條件齊次化,對非齊次邊界條件首先把它化為齊次的.
2.分離變數 u(x,t) =x(x) t(t) （1
[以後對三維問題也是如此]
3. 將（1）式代入原方程得出含任意常數λ的常微分方程, (稱為本徵方程) 而λ為本徵值.
4.由齊次邊界條件確定本徵值,並求出本徵方程.(得出的解為本徵函式)
5.根據迭加原理把所有滿足方程的線性無關解迭加後,就能得通解.
6.再由初始條件確定係數.
一維波動方程在第一類齊次邊界條件下的
一維波動方程在第二類齊次邊界條件下的通解:
一維輸運方程在第一類齊次邊界條件下的通解:
一維輸運方程在第二類齊次邊界條件下的通解:
對其他的齊次邊界條件,如本徵函式已知也可直接求解,而對本徵函式不熟則只能用分離變數法來求解.
8.2 非齊次邊界條件的處理
常用方法有 1) 直線法 :
對邊界條件為: u(0,t)=g(t), u(l,t)=h(t) .
令 ,可把邊界條件化為齊次,但一般情況下方程變為非齊次. 只有當g,h為常數時,方程才不變.
2) 特解法
把 u化為兩部分,令 u=v+w 使v滿足齊次邊界條件與齊次方程,而使w滿足齊次方程與非齊次邊界條件.下面通過例項來介紹此方法.
例題求解下列定解問題
utt－a2 uxx = 0
u|x=0 =0, u|x=l= asinωt
u|t=0 = 0 , ut∣t=0 = 0
( 其中a 、ω為常數, 0＜x＜l , 0＜ t ）
解：令 u=v+w ,使w滿足波動方程與非齊次邊界條件,
得出第九章二階常微分方程的級數解法
本徵值問題
一.拉普拉斯方程與亥姆霍斯方程在球座標與柱座標下分離變數結果.
1. 拉普拉斯方程在球座標下的通解:
其中y lm為球函式,拉普拉斯方程在球座標下的解不依賴於邊界條件.
在軸對稱時(1)式退化為
2. 拉普拉斯方程在柱座標下:
(5)式其解為m階bessel函式,
解依賴於邊界條件,當上下底為邊界條件是齊次時,
μ<0.對應的解是虛貝塞爾函式.
3） 亥姆霍斯方程在球座標與柱座標下分離變數結果.
在球座標下:
其中y為球函式,r為球貝塞爾函式.
在柱座標下: .
(5)式其解為m階bessel函式,
二、常微分方程的級數解法
1. 掌握常點鄰域的級數解法.
2. 掌握正則奇點鄰域的級數解法.
3.知道無窮級數退化為多項式的方法.
三. 知道sturm-livouville本徵值問題的共同性質
當k(x),q(x)和ρ(x)都只取非負的值(≥0), sturm-livouville方程共同性質為:
1)當k(x),k』(x)和q(x)連續且x=a和x=b最多為一階極點時,存在無限多個本徵值及對應的本徵函式:
2)所有本徵值λn≥0
3)對應於不同本徵值的本徵函式帶權正交
4)本徵函式族構成完備系
第一十章球函式
1. 軸對稱的球函式
當物理問題繞某一軸轉動不變時,選此軸為z軸這時物理量u就與φ無關,m=0.
此時球函式y(θ,φ)就為l階勒讓德多項式.即y=pl (cosθ)
1) 勒讓德多項式
1. 勒讓德多項式級數形式:
2. 勒讓德多項式微分形式:
3.前幾項為:
p0(x)= 1, p1(x) =x=cosθ,
p2(x)=(3x2-1)/2, ….
一般勒讓德多項式的冪次取決l
當l為偶數時都為偶次冪項,l為奇數時都為奇次冪項. 對特殊點x=1,0.
4.勒讓德多項式正交關係 (3
5.勒讓德多項式的模4)
6.廣義傅利葉級數 :當f(x)在[-1,1]連續可導,且在x=-1與1有限時5)
7.在球座標下laplace方程: △u= 0的通解為:
軸對稱(6)式有兩係數需要兩條件來確定,對球座標有兩自然邊界條件,r=0與r→∞,球內解包含r=0,
u有限, (7)
而al由球面的邊界條件確定,同樣對球外區域兩係數由球面的邊界條件與r→∞, 兩個條件確定.
8. 母函式
8)9. 遞推公式
二.連帶勒讓德函式
在一般情況下,物理量u與φ有關,故球函式y是連帶勒讓德函式與週期函式的乘積.
1. 連帶勒讓德函式
(1)2.連帶勒讓德函式的微分表示
(2)從(2)可得當l一定時,m的取值為 m=0,1,2…l.共有l+1個值.而三角形式球函式y（θ,φ）中,cosmφ,sinmφ為不同態,共有2l+1個態.
3.正交關係
4. 球函式y的兩種表示形式.
第十一章柱函式
一、 掌握三類柱函式的基本性質
一般我們稱bessel函式jm(x)為第一類柱函式.
而把neumann函式nm(x)稱為第二類柱函式 .
1）對於第一類柱函式與第二類柱函式的線性組合.
稱為第一種與第二種漢克爾函式.而漢克爾函式稱為第三類柱函式
2) x0和x時的行為
3) 遞推公式
4） 貝塞爾函式的零點
對m階貝塞爾方程
對第一類齊次邊界條件
得出第n個零點
對第二類齊次邊界條件
二．貝塞爾函式的正交關係
. 對於不同本徵值的同階貝塞爾函式在區間
[0,ρ0]上帶權重ρ正交.
2）廣義傅利葉- 貝塞爾級數
3）laplace在柱座標下的通解
軸對稱m=0,柱內解為
在側面為第一類齊次邊界條件時
其中係數an,bn由上下底邊界條件確定.
在上下底為齊次邊界條件時, μ 0,r的解為虛宗量貝塞爾函式.記為im(x)
同樣可得laplace方程在柱內解
當軸對稱時m=0
上下底滿足第一類齊次邊界條件時解為
輸運方程與波動方程在柱座標下的解
1) 解的形式: u(r,t)=t(t)v(r)
v滿足亥姆霍茲方程.
在側面與上下底齊次邊界條件下能完全確定本徵值,例如上下底滿足第一類齊次邊界條件.
在軸對稱情況下m=0
對輸運方程柱內的解:
上下底滿足第一類齊次邊界條件
波動方程在柱內的解:
在上下底滿足第一類齊次邊界條件下
二維極座標下的解:
側面滿足第一類齊次邊界條件
（3）側面滿足第二類齊次邊界條件
第十二章積分變換法
一、傅利葉變換法
1。掌握傅利葉變換法的適用條件，即方程中的乙個變數是在 (-∞,∞)範圍內時,可用fourier 變換法.
2。能用傅利葉變換法求解一些筒單的偏微分方程。
二、laplace變換法
1。掌握laplace變換法的適用條件，即方程有初值情況,且乙個變數的變化範圍在 (0, ∞)
2。能用laplace變換法求解一些筒單的偏微分方程。
第十三章格林函式法
1。知道格林函式的定義及物理意義
2。知道泊松方程解的積分形式
3。能用電像法求解泊松方程的格林函式。
數學物理方程公式小結
無限長弦的一般強迫振動定解問題 解三維空間的自由振動的波動方程定解問題 在球座標變換 r at 無界三維空間自由振動的泊松公式 二維空間的自由振動的波動方程定解問題 傅利葉變換 基本性質 線性性質 微分性質 若則拉普拉斯變換 基本性質 三個格林公式 高斯公式 設空間區域v是由分片光滑的閉曲面s所圍成...
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數學物理方程讀書報告
遙感與數字地球研究所徐煥 201428007010031 數學物理方程這門課主要是為非數學專業理工科研究生的公共選修課，介紹偏微分方程的基本解法，變分法的基本思想和在求解常微偏微分方程中的應用,提高學生解決實際問題的數學能力。通過學習我基本上在原本的基礎上對於定解問題 行波法 分離變數法等基本掌握，...