2023年北京市高階中等學校招生考試
數學試卷
學校姓名准考證號
一、選擇題（本題共32分，每小題4分）
下面各題均有四個選項，其中只有乙個是符合題意的．
1．的相反數是
abcd．9
2． 首屆中國（北京）國際服務**交易會（京交會）於2023年6月1日閉幕，本屆京交會期間簽訂的專案成交總金額達60 110 000 000美元，將60 110 000 000用科學記數法表示應為
a． b． c． d．
3． 正十邊形的每個外角等於
abcd．
4． 右圖是某個幾何體的三檢視，該幾何體是
a．長方體
b．正方體
c．圓柱
d．三稜柱
5． 班主任王老師將6份獎品分別放在6個完全相同的不透明禮盒中，準備將它們獎給小英等6位獲「愛集體標兵」稱號的同學．這些獎品中3份是學習文具，2份是科普讀物，1份是科技館通票．小英同學從中隨機取乙份獎品，恰好取到科普讀物的概率是
abcd．
6． 如圖，直線，交於點，射線平分，若，則等於
abcd．
7． 某課外小組的同學們在社會實踐活動中調查了20戶家庭某月的用電量，如下表所示：
則這20戶家庭該月用電量的眾數和中位數分別是
a．180，160b．160，180c．160，160d．180，180
8． 小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點出發，沿箭頭所示方向經過點跑到點，共用時30秒．他的教練選擇了乙個固定的位置觀察小翔的跑步過程．設小翔跑步的時間為（單位：秒），他與教練的距離為（單位：公尺），表示與的函式關係的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的
a．點b．點c．點d．點
二、填空題（本題共16分，每小題4分）
9． 分解因式
10．若關於的方程有兩個相等的實數根，則的值是
11．如圖，小明同學用自製的直角三角形紙板測量樹的高度，他調整自己的位置，設法使斜邊保持水平，並且邊與點在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊，，測得邊離地面的高度，，則樹高
12．在平面直角座標系中，我們把橫 、縱座標都是整數的點叫做整點．已知點，點是軸正半軸上的整點，記內部（不包括邊界）的整點個數為．當時，點的橫座標的所有可能值是當點的橫座標為（為正整數）時用含的代數式表示．）
三、解答題（本題共30分，每小題5分）
13．計算：.
14．解不等式組：
15．已知，求代數式的值．
16．已知：如圖，點在同一條直線上，，
．求證：.
17．如圖，在平面直角座標系中，函式的圖象與一次函式的圖象的交點為.
（1）求一次函式的解析式；
（2）設一次函式的圖象與軸交於點，若是軸上一點， 且滿足的面積是4，直接寫出點的座標．
18．列方程或方程組解應用題：
據林業專家分析，樹葉在光合作用後產生的分泌物能夠吸附空氣中的一些懸浮顆粒物，具有滯塵淨化空氣的作用．已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4毫克，若一年滯塵1000毫克所需的銀杏樹葉的片數與一年滯塵550毫克所需的國槐樹葉的片數相同，求一片國槐樹葉一年的平均滯塵量．
四、解答題（本題共20分，每小題5分）
19．如圖，在四邊形中，對角線交於點，
．求的長和四邊形的面積．
20．已知：如圖，是的直徑，是上一點，於點，過點作的切線，交的延長線於點，鏈結．
（1）求證：與相切；
（2）鏈結並延長交於點，若，求的長．
21．近年來，北京市大力發展軌道交通，軌道運營里程大幅增加，2023年北京市又調整修訂了2010至2023年軌道交通線網的發展規劃．以下是根據北京市軌道交通指揮中心發布的有關資料製作的統計圖表的一部分．
請根據以上資訊解答下列問題：
（1）補全條形統計圖並在圖中標明相應資料；
（2）按照2023年規劃方案，預計2023年北京市軌道交通運營里程將達到多少千公尺？
（3）要按時完成截至2023年的軌道交通規劃任務，從2011到2015這4年中，平均每年需新增運營里程多少千公尺？
22．操作與**：
（1）對數軸上的點進行如下操作：先把點表示的數乘以，再把所得數對應的點向右平移1個單位，得到點的對應點.
點在數軸上，對線段上的每個點進行上述操作後得到線段，其中點的對應點分別為．如圖1，若點表示的數是，則點表示的數是 ；若點表示的數是2，則點表示的數是 ；已知線段上的點經過上述操作後得到的對應點與點重合，則點表示的數是 ；
（2）如圖2，在平面直角座標系中，對正方形及其內部的每個點進行如下操作：把每個點的橫、縱座標都乘以同一種實數，將得到的點先向右平移個單位，再向上平移個單位（），得到正方形及其內部的點，其中點的對應點分別為。已知正方形內部的乙個點經過上述操作後得到的對應點與點重合，求點的座標。
五、解答題（本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分）
23．已知二次函式
在和時的函式值相等。
（1） 求二次函式的解析式；
（2） 若一次函式的圖象與二次函式的圖象都經過點，求和的值；
（3） 設二次函式的圖象與軸交於點（點在點的左側），將二次函式的圖象在點間的部分（含點和點）向左平移個單位後得到的圖象記為，同時將（2）中得到的直線向上平移個單位。請結合圖象回答：當平移後的直線與圖象有公共點時，的取值範圍。
24．在中，，是的中點，是線段上的動點，將線段繞點順時針旋轉得到線段。
（1） 若且點與點重合（如圖1），線段的延長線交射線於點，請補全圖形，並寫出的度數；
（2） 在圖2中，點不與點重合，線段的延長線與射線交於點，猜想的大小（用含的代數式表示），並加以證明；
（3） 對於適當大小的，當點**段上運動到某一位置（不與點，重合）時，能使得線段的延長線與射線交於點，且，請直接寫出的範圍。
25．在平面直角座標系中，對於任意兩點與的「非常距離」，給出如下定義：
若，則點與點的「非常距離」為；
若，則點與點的「非常距離」為.
例如：點，點，因為，所以點與點的「非常距離」為，也就是圖1中線段與線段長度的較大值（點為垂直於軸的直線與垂直於軸的直線的交點）。
（1）已知點，為軸上的乙個動點，
若點與點的「非常距離」為2，寫出乙個滿足條件的點的座標；
直接寫出點與點的「非常距離」的最小值；
（2）已知是直線上的乙個動點，
如圖2，點的座標是（0，1），求點與點的「非常距離」的最小值及相應的點的座標；
如圖3，是以原點為圓心，1為半徑的圓上的乙個動點，求點與點的「非常距離」
的最小值及相應的點和點的座標。
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