2011-2012學年度第二學期高二文科數學綜合測試卷（13）
命題人：張勝潮審核人：文科備課組
第ⅰ卷（選擇題共50分）
一．選擇題：本大題共10小題；每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．
1.若集合，，則=
a. b. cd.
2．已知複數，，，若z = 在復平面上對應的點在虛軸上，則的值是
abc．2d．-2
3．已知數列的通項公式是，則
abc．5d．55
4.若滿足約束條件,則的最小值為
a．20b．22
c．24d．28
5．在回歸分析中，殘差圖中縱座標為
a.殘差b.樣本編號
cd.6．已知冪函式在區間上單調遞增，則實數的值為
a．3b．2c．2或3d．或
7．函式的部分影象如圖所示，則其解析式可以是
ab．c． d．
數列是等差數列，是它的前項和，若那麼=
a．43b．54c．48d．56
9. 四位同學分別拿著個暖瓶去開啟水，熱水龍頭只有乙個。要使他們打完水所花的總時間（含排隊、打水的時間）最少，他們打水的順序應該為
abc. d. 任意順序
10．對任意實數，定義運算，其中是常數，等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算。已知，並且有乙個非零常數，使得對任意實數,都有，則的值是
abcd.
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14～15題是選做題，考生只需選做其中一題，兩題全答的，只以第一小題計分．）
（一）必做題：第11、12、13題為必做題，每道試題都必須做答。
11．若是奇函式，則
12．如圖是某幾何體的三檢視，其中正檢視是腰長為2的
等腰三角形，俯檢視是半徑為1的半圓，則該幾何體
的體積是
13．已知直線被圓所截
得的弦長為2，則的值為
（二）選做題（14—15題，考生只能從中選做一題）
14.（幾何證明選講選做題）如圖，圓是的
外接圓，過點的切線交的延長線於點，
，，則 ．
15.（座標系與引數方程選做題）已知在極座標系下，點，，是極點，則的面積等於
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
16．（本題滿分12分）
在△abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c（其中），設向量，，且向量為單位向量．
（1）求∠b的大小。（本小題6分）
（2）若，求△abc的面積．（本小題6分）
17．（本小題滿分14分）
如圖，平行四邊形中，，，且，正方形和平面垂直，是的中點．
（1）求證：；（本小題4分）
（2）求證：平面；（本小題4分）
（3）求三稜錐的體積．（本小題6分）
18．（本題滿分12分）
某高校在2023年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組，得到的頻率分布表如下左圖所示.
（1）請先求出頻率分布表中①、②位置相應的資料，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖；（本小題5分）
（2）為了能選拔出最優秀的學生，高校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？（本小題3分）
（3）在（2）的前提下，學校決定在6名學生中隨機抽取2名學生接受a考官進行面試，求第4組至少有一名學生被考官a面試的概率？（本小題4分）
19．（本題滿分14分）
如圖，直角三角形的頂點座標，直角頂點，頂點在軸上，點為線段的中點．
(1)求邊所在直線方程；（本小題4分）
(2)為直角三角形外接圓的圓心，求圓的方程；（本小題4分）
(3)若動圓過點且與圓內切，求動圓的圓心的軌跡方程．（本小題6分）
20．（本題滿分14分）
已知三次函式在，上單調遞增，在上單調遞減．
(1)求，的值；（本小題6分）
(2)若當且僅當時，，求的解析式．（本小題8分）
21.（本小題滿分14分）
桑基魚塘是廣東省珠江三角洲一種獨具地方特色的農業生產形式，某研究單位打算開發乙個桑基魚塘專案,該專案準備購置一塊占地平方公尺的矩形地塊,中間挖成三個矩形池塘養魚,挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植桑樹,魚塘周圍的基圍寬均為公尺,如圖所示,池塘所佔面積為平方公尺，其中.
(ⅰ) 試用表示；（本小題6分）
(ⅱ) 若要使最大，則的值各為多少？（本小題8分）
2011-2012學年度第二學期高二文科數學綜合測試卷（13）
參***
一、選擇題
二、填空題
11. 12． 1314． 15.
三、解答題
16．（本題滿分12分）
解：（12分
4分又b為三角形的內角，由，故6分
（2）根據正弦定理，知，即，
∴，又9分
故c＝，△abc的面積12分
17．（本題滿分14分）
（1）證明：平面平面，交線為2分∴
又4分（2）證明：鏈結，則是的中點
∴中6分又∴
∴平面8分
（3）解：設中邊上的高為
依題意：
即：點到平面的距離為10分
14分18．（本題滿分12分）
解：（1）由題可知，第2組的頻數為人1分
第3組的頻率為2分
頻率分布直方圖如下5分
（2）因為第3、4、5組共有60名學生,所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生,每組分別為：
第3組:人, ……… 6分
第4組:人, ……… 7分
第5組:人8分
所以第3、4、5組分別抽取3人、2人、1人。
（3）設第3組的3位同學為,第4組的2位同學為,第5組的1位同學為,
則從六位同學中抽兩位同學有15種可能如下10分
第4組至少有一位同學入選的有: 9種可能。 所以其中第4組的2位同學為至少有一位同學入選的概率為………… 12分
19．（本題滿分14分）
解：解：(1)∵kab＝－，ab⊥bc，∴kcb＝，∴bc邊所在直線方程為y＝x－2.…………4分
(2)在上式中，令y＝0，
得c(4,0)，∴圓心m(1,0)．
又∵|am|＝3，∴外接圓的方程為(x－1)2＋y2＝98分
(3)∵p(－1,0)，m(1,0)，圓n過點p(－1,0)，
∴pn是該圓的半徑．
又∵動圓n與圓m內切，
∴|mn|＝3－|pn|，
即|mn|＋|pn|＝3，∴點n的軌跡是以m、p為焦點，長軸長為3的橢圓，
∴a＝，c＝1，b＝＝，
∴圓心n的軌跡方程為＋＝1.
14分20．（本題滿分14分）
解：解：(1)∵f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上單調遞增，在(－1,2)上單調遞減，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有兩根－1,22分
6分(2)令h(x)＝f(x)－(x2－4x＋5)＝x3－x2－2x＋c－5，
則h′(x)＝3x2－5x－2.
因為h′(x)在[4，＋∞)上恆大於0，所以h(x)在[4，＋∞)上單調遞增，故h(4)＝0，∴c＝－11，
∴f(x)＝x3－x2－6x－1114分
21.（本小題滿分14分）
解:(ⅰ)由題可得：，則2分
………6分
(ⅱ)方法一: …………11分
當且僅當,即時,取得最大值14分
方法二:
11分當且僅當,即時取等號,取得最大值.此時. ………14分
方法三:設8分
9分令得
當時,,當時,.
∴當時,取得最大值.此時14分
學年度第二學期高二文科數學綜合測試卷
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