2010/2011學年度第二學期期中考試高二年級
數學(理科)試卷
命題人:宋鋼複核人:宋鋼
一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卷相應位置上.
1.設i是虛數單位，則複數的實部為 ▲
2. 已知，則
3.人排成一排，則甲不站在排頭的排法有種．（用數字作答）．
4. 曲線在點處的切線斜率為切線方程為
5.有2個紅球、4個黃球，同色球不加以區分，將這6個球排成一列有__▲__種不同的方法（用數字作答）．
6. 對-------大前提小前提
所以結論以上推理過程中的錯誤為 ▲
（1） 大前提 （2） 小前提 （3）結論 （4）無錯誤
7. 函式的定義域為開區間，導函式在內
的圖象如圖所示，則函式在開區間內的極值點有 ▲
8. 已知複數滿足，則的最小值是 ▲
9. 已知函式的導函式為，且滿足，則 ▲
10. 若把英語單詞「」的字母順序寫錯了，則可能出現的錯誤共有種．（用數字作答）．
11.利用數學歸納法證明「」時，從假設推證成立時，左邊應增乘的因式是
12. 已知函式（a為常數），在區間上有最大值20，那麼此函式在區間上的最小值為
13.分別是定義在r上的奇函式和偶函式，當時，且的解集為 ▲
14. 已知.（），下面命題中真命題的序號是
①的最大值為的最小值為
③在上是減函式在上是減函式
二、解答題：本大題共6小題，共計90分．
15. 已知,複數z=當為何值時,
(1)zr; (2)z是虛數3)z是純虛數;
16. 已知為實數，。
⑴求導數； ⑵若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值；
⑶若在(－∞，－2]和[2，+∞)上都是遞增的，求的取值範圍。
17.把邊長為6的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）後,用剩餘部分做成乙個無蓋的正三稜柱形容器(不計接縫)，設容器的高為，容積為.
（1）寫出函式的解析式，並求出函式的定義域；
（2）求當為多少時，容器的容積最大？並求出最大容積。
18.已知複數，且為純虛數．
（1）求複數；（2）若，求複數的模．
19. 已知，.
（1）當n=1,2,3時，分別比較與的大小（直接給出結論）；
（2）由(1)猜想與的大小關係，並證明你的結論.
20. 已知函式，，
（1）設函式，求的極小值。（2）設函式，若恒成立，求實數的取值範圍。
（3）若，總有成立，求實數的取值範圍。
試卷答案
一、 填空題：
1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、
8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、
二、 解答題：
15、(1)m=1(2)m1(3)m=0
16.解：⑴由原式得： ∴
⑵由得, 此時有.
由得或x=-1 , 又
所以f(x)在[－2,2]上的最大值為最小值為
⑶解法一：的圖象為開口向上且過點(0,－4)的拋物線,由條件得
即 ∴－2≤a≤2。 所以a的取值範圍為[－2,2].
解法二：令即由求根公式得:
所以在和上非負.
由題意可知,當x≤-2或x≥2時,≥0,
從而x1≥-2, x2≤2,
即解不等式組得－2≤a≤2. ∴a的取值範圍是[－2,2].
17.解：（ⅰ）因為容器的高為x，則做成的正三稜柱形容器的底邊長為----1分.
則4分函式的定義域為5分
（ⅱ）實際問題歸結為求函式在區間上的最大值點.
先求的極值點.
在開區間內7分
令，即令，解得.
因為在區間內，可能是極值點. 當時，；
當時9分
因此是極大值點，且在區間內，是唯一的極值點，所以是的最大值點，並且最大值
即當正三稜柱形容器高為時，容器的容積最大為412分
18、解：（14分
是純虛數
，且6分
7分（212分
14分（注：第二小問直接利用模的性質也行）
19、解：（1）當時
當時，, ,，
當時3分
(2)猜想： ,即.------4分
下面用數學歸納法證明：①當n=1時，上面已證5分
②假設當n=k時，猜想成立，即
則當n=k+1時，
-----10分
而，下面轉化為證明：
只要證：，需證：，
即證：，此式顯然成立.所以，當n=k+1時猜想也成立.
綜上可知：對，猜想都成立15分
即成立16分
20．解：（i2分
因時，令，則，故在上單調遞減，
在上單調遞增，
故在上的最小值為4分
解得，所以a取值範圍是6分
（ii）已知可轉化為時，恆成立，
令，則為單調遞增的函式，……………………8分
故恆成立，即恆成立10分
令，則，所以
當時，，單調遞增
當時，，單調遞減
，故13分
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