「什麼是面積」是北師版三年級上冊第四單元「面積」的起始課。本節課的內容是幫助學生初步建
立面積的概念。那到底什麼是面積呢？
教材是這樣定義的：「物體的表面或圍成的平面圖形的大小就是它們的面積」。它們的大小需要通過測量得到。
測量是將乙個待測的量和乙個公認的標準量進行比較的過程。乙個測量總是帶著乙個測量單位，而乙個測量加上它的測量單位稱為乙個量。面積是乙個測量的結果，它本身是乙個量。
量是連線數與形的橋梁，而長度和面積是學習量這部分內容的基礎，也是研究幾何形體特徵以及圖形的面積計算的基礎。因此「面積」是小學數學學習中的乙個重要概念，是現今小學數學教材中為數不多的給出定義的內容之一。
面積這個詞在生活中學生也都有耳聞，憑經驗和直覺學生是怎麼理解面積這一概念的呢？帶著這一問題，我抽取了清華附小三年級30名學生進行了問卷調研，鑑於三年級學生年齡小，書面表達能力弱，怕誤解學生，我又進一步通過訪談了解了學生的真實想法，以保證調研的可信度。
調研內容及結果如下：
1．請你畫圖或用文字說明什麼是面積。
對「面積」這一概念理解基本正確的有4人，佔13.3，80%的學生無法清楚的描述出對於面積的理解。從學生所表述的意思來看，大多數的學生無法區分「面」與「面積」，有2個學生認為「面積是物體的周長」，「4個邊的邊長加在一起就是它的面積」。
在錯誤答案中有3人認為立體圖形只有乙個面的大小是它的面積。
2．想辦法比較出下面兩個圖形的大小，並寫出比較的過程。
從最後的統計情況上看，30%的學生能夠想到用有效的方法比較兩個圖形的面積；36.7%的學生是通過計算兩個圖形的周長，得出兩個圖形大小相等的結論。通過訪談了解到學生出現這種情況的原因有以下兩點：
認為圖形的大小指的就是圖形的周長；
②認為兩個圖形的周長相等，那麼它們的面積也必定相等。
從調研情況看，最突出的問題是學生將「周長」和「面積」混淆（其他問題的出現是因為學生對「面積」的內涵不理解，通過學習即可解決）。根據以往的教學經驗，即使學生認識了面積，甚至學習了面積的計算，在解決問題時仍然會出現面積和周長不分的現象。原因可能有以下幾點：
長度的學習對學生的影響。之前學生學習了長度的測量和周長，對面積的學習有干擾作用。
學生生活經驗欠缺。生活中尺子隨處可見，學生天天用尺子畫線，也有測量長度的經驗。而生活中要得到面積通常不是用乙個面直接去量，而是通過量線的長度去「算」面積。
「面積」比「長度」更難感知。雖然在生活中「面」隨處可見，但大多數情況下，「面」不會孤立地呈現在學生面前，更多的是作為「體」的一部分被學生感知。相比長度而言，面積更為抽象。
由於長度概念中的「長短」在學生頭腦中的先人為主，加上學生對抽象的面積概念缺乏認識的感性支撐，所以學生在面積概念運用中常常會出現用「長短」來表示面積、甚至是「長短」與「大小」不分和混用的現象。因此，從長度到面積是學生認識發展上的一次飛躍，要真正理解面積的內涵、形成對面積的清晰認識不是那麼容易的事。
羅素在《教育的目的》一書中談到：「兒童教育中所教的概念要少而重要，……兒童應該使這些概念成為他自己的概念，並且應該懂得這些概念此時此地在他實際生活環境中的應用。」那作為教師怎樣幫助學生將「面積」化為他自己的概念呢？
學生形成面積概念的過程一方面要有大量豐富的材料作為認識的感性支撐，而且還要有面積概念形成過程的活動作為概念認識的實踐支撐。要利用面積的外延與內涵相互促進幫助學生理解概念，只有這樣，面積才不再是空洞的詞語，而是學生在自己實踐活動的過程中生成的豐富的表象。所以需要遵循學生的認知規律，象剝筍皮那樣，循序漸進，由淺入深地和學生共同經歷「操作感知——形成表象——建立概念」的過程，通過層層遞進的體驗和反思活動，幫助學生逐步豐富和建構對「面積」本質意義的理解。
首先，在教學中要給學生充分的時間去感知「面」，發展學生對面的感覺。讓學生摸一摸黑板麵、課桌上面、課本封面、粉筆盒表面、茶葉盒表面，體會物體有麵，這些面是客觀存在的；感受面有平面有曲面；面的數量有乙個也有多個；面是有邊界的，有了邊界才使麵有了大小。
其次，要幫助學生體會面是有大小之分的，發展學生的量感。面積有兩層含義：一是指物體表面的大小，二是指封閉圖形的大小。
學生通過比較黑板表面與課桌上面、樹葉的面、正方體表面、長方形正方形哪乙個比較大、哪乙個比較小，體會各個物體的表面不管是規則的還是不規則的，不管是平面的還是立體的都可以通過觀察或重疊、測量等比出大小，同時體會這裡的「大小」不是有的大、有的小「相差」的意思，而是每個面各有確定的大小，確定的大小可以用更小的「面」測量得到，可以通過數值表述出來。
再次，要通過活動體會面積的不變性：任何封閉圖形的大小，不因位置改變而有所不同，也就是說經過某種轉換(如分割、旋轉、平移)後，面積不會改變。
當然，面積概念無法通過一節課立即建立起來，它需要乙個長期的過程，需要在接下來的面積單位、平面圖形面積、立體圖形的表面積和不規則圖形面積等的學習中進一步體會和感悟，需要在許多次經驗的累積中逐步形成。
課中實踐
活動一：初步感知面積的意義
學生在生活中對面積都有所耳聞，因此，在課一開始我先在黑板上寫下「面積」二字，然後問學生;「聽說過「面積」這個詞嗎」，很多學生都說聽說過。「知道下面這三句話裡所說的面積是什麼意思嗎？」我邊說邊用課件緩慢地出示了下面的話：
生1：（邊說邊張開手臂）面積是很大的意思。
生2：面積是大小吧。
生3：乙個立體圖形一面所佔的地方就是面積。
生4：乙個圖形佔的地方的大小就是面積。
在學生回答的基礎上我總結說：同學們憑經驗或感覺說出了自己對面積的理解，這裡的面積指的都是地面的大小。
「在生活中每個物體都有自己的面（我邊說邊在板書中「面」的下邊加了乙個著重號），像地面、黑板面，那誰能用語言或用動作來說明黑板的面指的是哪些地方？」
乙個學生沿黑板的邊用手畫了乙個框，我一邊模仿她的動作一邊問：這是它的面嗎？學生補充說「是框起來的地方」。
「能不能不用解釋只用乙個動作就能讓大家看出我們在說它的面呢？」學生將手掌開啟，上下摸了一遍。我又讓其他學生學著她的樣子摸了摸課桌上面的面、數學書的封面。
接著我隨手拿起粉筆盒，請學生摸一摸它的表面。學生習慣性地摸摸上面，其他同學在下面提醒說粉筆盒有6個面呢，她隨即把每個面都摸到了。然後我又請乙個學生摸了摸茶葉盒的表面。
「地面的大小是地面的面積，黑板面的大小是黑板的面積。誰能說一說，數學書封面的面積指的是什麼呢？」這個問題學生回答起來很容易，接著學生又自己舉例解釋了課桌上面、粉筆盒表面的面積是什麼意思，我接著說：
「剛上課時有個同學說乙個立體圖形一面所佔的地方就是面積，你覺得對嗎？」乙個學生說「乙個立體圖形表面的大小才是它的面積」，我接著補充說：「說得好，那它一面所佔的地方是它的---占地面積。
」看學生基本都能表述了，我馬上請學生總結：「通過剛才的活動你對面積有什麼體會？你覺得面積指的是什麼？」
隨著學生的解釋，我在黑板上寫下：物體表面的大小。並總結說：
物體表面的大小，就是這個物體的面積。當我們在比較物體表面大小時，要把表面的凹凸不平看成平面。面積既可以是乙個面的大小，也可以是多個面的大小。
活動二：在比較中進一步體會面積的意義
1. 直觀比較
「通過看和摸，你覺得黑板面和課桌上面的面哪個大一些？」
「這還不容易，當然是黑板面大一些了。」
為了調動學生觀察的積極性，我隨即說：「有時候，我們通過看就能直接比較出面的大小，但如果不讓你看，只讓你摸，你還能比較出面積的大小嗎？」
學生的熱情一下子被激發起來了。
第乙個上來的摸的是兩片大小不同的葉子，猜完他選了一片葉子貼在黑板上。
第二個上來的學生摸的是兩個大小反差很大的正方體盒子，猜完我提出問題：「老師想把它也貼在黑板上，並且所有露在外面的面都要被我們看到，有辦法嗎？」學生指揮我將盒子剪開，然後將展開圖貼到黑板上。
第三個上來的學生摸的是兩張紙片，學生猜的是長方形紙片大，下面有很多同學反對，有的說還是正方形紙片大，有的說一樣大。
2.討論比較的策略
「到底誰說的對呢？看來通過看，是很難讓大家作出準確判斷的。那用什麼辦法能驗證這位同學的判斷呢？
大家先商量商量。」之所以沒有直接放開讓學生探索是考慮到這裡重在體會面積的意義，讓所有學生都經歷是非常重要的。
學生商量的結果是將兩個圖形疊在一起比，學生說完我趁機請他們開啟桌面上的信封：「我們也可以借助一些 「量」面積的「尺子」來量，用這些小的麵量大的面，也可以比較出大小」。然後請學生同桌兩人合作比一比。
3. 直接比較
經過幾分鐘的探索，學生都比較出了結果。我先請將兩個圖形疊在一起比的兩個同學演示了比較的過程，學生看得不是很清楚，我就用課件演示了一遍（如圖），同時提出問題：原來的紙片都剪開了，結果還可信嗎？
學生回答說這些紙片剪完都沒扔掉，肯定沒問題，我隨即用課件演示將剪開的部分合起來，讓學生看到還是原來的圖形（注：前面正方形的圖應該是紅色的）。
接著我和學生商量給這種方法取個名字叫重疊比較（板書：重疊）。
4.間接比較
我又請用自菜單位測量面積的同學上台演示。
（1）長方形的面積有10個小正方形的面積那麼大，正方形只有9個，長方形面積大。
（2）長方形的面積有5個長方形的面積那麼大，正方形只有4個多，不夠5個，長方形面積大。
（3）長方形的面積有5個小長方形的面積那麼大，正方形有9個小正方形面積那麼大，正方形大。
對這種方法，學生都表示反對，說都用同樣大小的圖形來比才公平。
（4）長方形用了10個圓形，正方形用了9個，長方形面積大。
「這個時候，能不能說長方形的面積與10個圓片的面積一樣大呢？為什麼？」學生說不行，因為空白的地方沒量到。但比是可以的，所有圓形外面空白的地方都一樣大。
我和學生商量給這種通過借助貼圖形來比較面積的方法取名叫測量，其實也是用小紙片與大紙片重疊比較。（板書：測量）。
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