普集高中校本教材高考數學規範答題
數學組徐忠鋒
規範答題1 應對填空題要注重反思與驗算
考題再現：
1.已知全集s=，a=， 如果 sa=，則這樣的實數x的集合是 .
學生作答： 甲生： 乙生：-1，2 丙生（-1，2）
規範解答
老師忠告：
（1）由於填空題不像選擇題那樣有乙個正確答案供我們校正結果，所以填空題更容易丟分.因此， 對得出的結果要注意驗算與反思，驗算一下結果是否符合題意，反思一下表達形式是否符合數學的格式，像乙、丙兩位同學已經求得了x的值，但由於書寫格式不對，造成丟分.
（2）注意集合「三性」，防止「奸細」混入.例如甲同學就是沒有考慮到x=0時，a=違反了元素的互異性原則，應捨去.
考題再現：
2.（2009·上海，2）已知集合a=,b=,且a∪b=r，則實數a的取值範圍是 .
學生作答：
甲生：a＜1 乙生：a≥1
規範作答 ： a≤1
老師忠告：
（1）集合的「交、並、補」特別要小心的是「端點值的取捨」.常犯的錯誤就是對「端點值」把握不准，其實很簡單，只要單獨反思一下「端點值」即可.
（2）一定要養成「在數軸上進行集合（數集）運算」的好習慣，借助數軸，集合的運算關係一目了然. 上面甲同學丟掉了端點值，乙同學沒有搞清並集的含義及畫法.
規範答題2 注重數學思維能力的培養
考題再現：
某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場**得知，從二月一日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關係用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關係用圖2的拋物線表示.
（1）寫出圖1表示的市場售價與時間的函式關係式p=f（t）；寫出圖2表示的種植成本與時間的函式關係式q=g（t）；
（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？ （注 ：市場售價和種植成本的單位：元/百千克，時間單位：天）
學生作答：
解設f(t)=kt+b,
當0≤t≤200,由圖可得方程
當t＞200時,
所以p=f(t)=t+300
設g(t)=a(t-150)2+100
把t=250,q=150代入g(t)解得
（2）設f（t）=f(t)-g(t)當0≤t≤200時,
當t=50時,f(t)取得最大值f(t)max=100
當200＜t≤300時,不合題意,
答當上市時間為50天時，純收益最大；最大為100元.
規範解答
解 （1）由圖1可得市場售價與時間的函式關係為
由圖2可得種植成本與時間的函式關係為
（2）設t時刻的純收益為h(t), 則由題意得h（t）=f（t）-g（t），
當0≤t≤200時，配方整理得
所以，當t=50時，h(t)取得區間［0，200］上的最大值100；
當200所以，當t=300時，h(t)取得區間（200，300］上的最大值87.5.
綜上，由100>87.5可知，h(t)在區間［0，300］上可以取得最大值100，此時t=50,即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大.
老師忠告：
（1）解題能力由解題的結果體現，但思維能力水平的高低由解題步驟體現，清晰條理的解題步驟表現了解答人的數學素養，同時它也能提高乙個人的數學素養.（2）第（1）小題的解答複雜而混亂，反映了解答人思維上的混亂與慌亂進而造成錯誤.第（2）小題中對200（3）對應用題的解答，要深刻理解題意.
對解決方案先做到胸有成竹，才有「下筆成章」.若有不同情況，要分別說出各種情況下的答案，再彙總確定答案.
規範答題3 注重表示式及結果的化簡
考題再現：
已知函式f（x）=
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2tf(2t)+mf(t)≥0對於t∈［1，2］恆成立，求實數m的取值範圍.
學生作答
解由題意得
規範解答
解老師忠告
（1）解答數學題時，若能及時對表示式進行化簡，會使運算過程變的簡單且正確率高，反之冗長的表示式不僅書寫麻煩，且給考生增加心理上的壓力；
運算結果不注重化簡更是直接丟分.
（2）該生在求f(x)解析式時，當x<0時，f（x）解析式化簡不徹底，使進一步解答時顯得邏輯上存在漏洞.
（3）對（2）化簡變形的方向性不明確造成變形無法進行，反映出平時訓練時對步驟的嚴謹性要求不夠，對此類問題的通解通法掌握不好.
規範答題4 注重解題步驟「數學」 的表達考題再現
考題再現：
1.(2009·北京理，18)設函式f(x)＝xekx (k≠0)．
(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
(2)求函式f(x)的單調區間；
(3)若函式f(x)在區間(－1,1)內單調遞增，求k的取值範圍.
學生作答
解 (1)f′(x)=(1+kx)·ekx,f′(0)=1，f(0)=0.∴曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=x.
(2)由f′(x)=(1+kx)·ekx=0,得x=- (k≠0).
若k>0,則當x∈(-∞，-)時,f(x)<0,函式f(x)單調遞減；當x∈(-,+∞)時,f′(x)>0,函式f(x)單調遞增.
若k<0,則當x∈(-∞，-)時,f′(x)>0,函式f(x)單調遞增；當x∈(-,+∞)時,f′(x)<0,函式f(x)單調遞減.
(3)若k>0,則-<-1,得k<1時函式f(x)在(-1,1)內單調遞增.
若k<0則->1,得k>-1函式f(x)在(-1,1)內單調遞增.
規範解答
解 (1)f′(x)＝(1＋kx)ekx，f′(0)＝1，f(0)＝0，
曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝x.
(2)由f′(x)＝(1＋kx)ekx＝0，得x＝－(k≠0)，
若k>0，則當x∈時，f′(x)<0，函式f(x)單調遞減；
當x∈時，f′(x)>0，函式f(x)單調遞增，
若k<0，則當x∈時，f′(x)>0，函式f(x)單調遞增；
當x∈時，f′(x)<0，函式f(x)單調遞減，
綜上所述：當k>0時，函式f(x)的增區間是，減區間是；
當k<0時，函式f(x)的增區間是，減區間是.
(3)由(2)知,若k>0,則當且僅當－≤－1,即k≤1時，函式f(x)在(－1,1)內單調遞增，此時0綜上可知，函式f(x)在(－1,1)內單調遞增時，k的取值範圍是[－1,0)∪(0,1].
老師忠告
(1)結論的完備性，答****性是拿到滿分的關鍵．
(2)第(2)問中，並沒有回答出函式的單調區間，要注意「f(x)的增區間是(a，b)」與「f(x)在(a，b)上是增函式」的區別．一般來說，由分類討論得出的結論，要做彙總說明．
(3)第(3)問中，一方面要注意區間的「端點值」不要漏掉，另一方面要注意與分類範圍取交集.
考題再現
2.已知函式f(x)＝x4－3x2.
(1)求f(x)的單調區間；
(2)若與曲線y＝f(x)相切的直線過原點，求該切線方程.
學生作答
解 (1)f′(x)＝4x3－6x＝4x，
由f′(x)>0，解得－，
由f′(x)<0，解得x<－或0故f(x)的遞增區間為，
f(x)的遞減區間為，.
(2)由題意，原點是切點，得f′(0)＝0，故切線方程為y＝0.
規範答題
解 (1)f′(x)＝4x3－6x＝4x，
由f′(x)>0，解得－，
由f′(x)<0，解得x<－或0故f(x)的遞增區間為，，
遞減區間為，.
(2)若原點是切點，則f′(0)＝0，得切線方程y＝0.若原點不是切點，設切點
p(x0，y0) (x0·y0≠0)則k＝f′(x0)＝4x－6x0＝＝x－3x0，得x0＝±1.
當x0＝1時，p(1，－2)，k＝－2，
切線方程為2x＋y＝0；
當x0＝－1時，p(－1，－2)，k＝2，
切線方程為2x－y＝0.
綜上所述：所求切線方程為y＝0或2x＋y＝0或2x－y＝0.
老師忠告：
(1)特別要注意某些數學符號的用法，如：取值範圍、定義域、值域等的合併要用「∪」，而單調區間是不能用「∪」的，如函式在多個區間上都是增函式，則這幾個區間用「，」隔開或用「和」字連線．
(2)要注意區別「在曲線上點a(a，b)處的切線」與「過點a(a，b)的曲線的切線」兩種說法的區別.
規範答題5 審題不仔細，導致失分
考題再現:
是否存在實數a,使函式y=sin2x+acos x+ 在閉區間上的最大值為1？
若存在，求出對應的a值；若不存在，請說明理由.
學生作答:
解假設存在實數a,
規範解答:
解假設存在實數a,
老師忠告：
審題不仔細，導致換元時忽視了新元的取值範圍，本題中自變數的取值範圍限制在上，根據余弦函式的性質，新元t的取值範圍應該是［0，1］，而不是r或［-1，1］.
規範答題6 思維定勢，亂套公式
考題再現
已知函式f(x)=a·(b-a)，其中向量a=(cosωx,0),
b=( sinωx,1),且ω為正實數.
（1）求f(x)的最大值；
（2）對任意m∈r，函式y=f(x),x∈［m，m+π］的圖象與直線有且僅有乙個交點，求ω的值，並求滿足的x值.
學生作答
解規範解答
解老師忠告
本題中2ω相當於公式中的ω，需明確其意義.思維定勢，亂套公式，造成由得ω=2,致使後面運算全部出錯，僅得7分.
規範答題7 步驟不完整，導致失分
考題再現
已知數列的前n項和為sn，點(n，sn) (n∈n+)均在函式y＝f(x)＝3 x 2－2 x的圖象上．
(1)求數列的通項公式；
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