推理與證明
一、利用三角形全等證明線段相等和角相等
我們知道如果兩個三角形全等，那麼這兩個三角形的對應邊相等，對應角相等。全等三角形的性質為我們證明線段相等和角相等提供了方法。
例1 已知：如圖，為上一點，點分別在兩側．，，．求證：．
分析：從圖形中我們發現，ac、cd正好是
△ abc和△cde的對應邊，我們只要證明了△abc和△cde
全等就可以證明結論成立。
怎樣證明這兩個三角形確定呢？我們從已知條件出發，展開聯想，尋找出全等的條件即可。
題目中的第乙個條件：→∠b=∠e
題目中的第二個條件：，正好分別是等角的邊。
這時，三角形全等的條件齊了，可以書寫證明過程了。
證明：，∴．
在和中，
∴．在上面的證明過程中，我們是怎樣書寫證明過程的呢？
上面的證明過程可以分為三部分：
第一部分，使用了乙個邏輯推理。，∴．這個推理為後面證明兩個三角形全等起到準備條件的作用，也就是說，在證明三角形全等的三個條件中，已知條件中已經具備了兩個，還需要乙個條件，這個推理為三角形全等找到了第三個條件。
第二部分，證明兩個三角形全等。
第三部分，利用全等三角形的性質，推理得出線段相等。
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例2 如圖，在等腰梯形中，，是的中點，
求證：．
分析：從圖中我們發現，線段mb，mc可以看成是
△abm和△cdm的對應邊，我們只要證明了△abm和△cdm
全等就可以證明結論成立。
怎樣證明這兩個三角形確定呢？我們從已知條件出發，展開聯想，尋找出全等的條件即可。
題目中的第乙個條件：
在等腰梯形中，→ab=cd，∠a=∠d
題目中的第二個條件：是的中點→am=dm。
這時，三角形全等的條件齊了，可以書寫證明過程了。
證明：在等腰梯形中， ∴
∵是的中點 ∴
在和中，
∵ ∴（sas）．
∴．上面的證明過程可以分為三部分：
第一部分，使用了兩個邏輯推理。
①在等腰梯形中， ∴
②∵是的中點 ∴
這兩個推理為後面證明兩個三角形全等起到準備條件的作用，也就是說，在證明三角形全等的三個條件中，已知條件中沒有給出現成的條件，需要尋找三個條件，這兩個推理為三角形全等找齊了三個條件。
第二部分，證明兩個三角形全等。
第三部分，利用全等三角形的性質，推理得出線段相等。
例3 已知：如圖，四邊形abcd中，．求證：．
分析：根據上面的經驗，如果我們能把∠a，∠c
看作兩個三角形的對應角，我們只需證明兩個三角形全等
即可。但是圖中沒有三角形，怎麼辦？
我們可以新增「輔助線」，構造全等三角形。
如圖，連線b、d，得到△abd和△cbd，我們只要能夠證明這兩個三角形全等就可以了。[**:學+科+網]
顯然，已知條件中已經有了兩個全等的條件，而我們
新增的「輔助線」正好是兩個三角形的公共邊，是全等的第
三個條件。這時，兩個三角形全等的條件已經具備，我們來書寫證明過程：
證明：連線bd．
在△和△中，
∵ ∴△≌△．
∴ 另外，我們還可以這樣來新增「輔助線」：
如圖，連線a、c，得到△abc和△acd，我們只要能夠證明∠bad和∠bcd被ad分成的兩部分分別相等就可以了。
題目中的第乙個條件：ab=bc→∠bac=∠bca
題目中的第二個條件：ad=cd→∠dac=∠dca
證明：鏈結
∵，∴同理∵∴． 這個證法使用等邊對等角，先證明了∠bad和∠bcd的兩個部分分別相等，又使用等式的性質，證明了∠bad和∠bcd整體相等。
例4 如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線於，且．求證：是的中點.
分析：這個題目要證明d是bc的中點，也就是證明bd=dc，
也是證明兩條線段相等，從圖中我們可以看出，bd與dc所在的兩個三角形△abd和△acd的形狀不同，顯然，利用這兩個三角形全等來證明bd=dc是不行的。
我們再仔細、全面地觀察圖形，發現△aef和△dbe的形狀、大小相同，這兩個三角形有可能全等。
我們從已知條件出發，展開聯想：
題目中的第乙個條件：是的中點→ae=de
題目中的第二個條件：
過點作的平行線交的延長線於，即af∥bc→∠afe=∠dbe
題目中的第三個條件：→如果af=bd成立，則bd=dc成立。
圖中還有一對對頂角。
這時，可以先證△aef和△dbe全等，得到af=bd，然後根據，可以得到bd=dc了，下面書寫證明過程：
證明：是的中點 ∴ae=de
∴∠afe=∠dbe
在△aef和△deb中
∵ ∴△aef≌△deb
∴af=db
db=dc
即是的中點．
在這個題目中，bd與dc所在的兩個三角形△abd和△acd的形狀不同，顯然，利用這兩個三角形全等來證明bd=dc不行，而發現△aef和△dbe的形狀、大小相同，這兩個三角形有可能全等（實際上△aef和△dbe全等）。在證明了這兩個三角形全等後，題目的第三個條件就是一座橋，通過這個條件使證明得以完成。
例5 在梯形abcd中，ab∥cd，∠a=90°， ab=2，bc=3，cd=1，e是ad中點．求證：ce⊥be． [**:學科網]
分析：如圖，要證明ce⊥be，有兩種方法：
一是證明△bce是直角三角形；二是證明∠ced+∠bea=90°。
（一）如果證明△bce是直角三角形，通常需要使用勾股定理的逆定理來判定。這樣就要知道三邊ce、be、cd的長度。
我們從已知條件出發，展開聯想：
題目中的第乙個條件：在梯形abcd中，ab∥cd，∠a=90°→∠d=90°
即△ecd和△eba都是直角三角形。
題目中的第二個條件：ab=2，bc=3，cd=1，這些資料可以幫助我們分別求出ce、be的長度。
題目中的第三個條件：e是ad中點→de=ae=ad[**:z|xx|
在rt△ecd和rt△eba中，要分別求出ce、be的長度還需要知道de和ae的長度，而de=ae=ad，因此，需要求出ad的長度。
如圖，通過作「輔助線」：過c作cf⊥ab，垂足為f，很
容易知道四邊形afcd是矩形，cf=ad，△cbf也是直角三角形。
我們可以在這個直角三角形中求出cf的長，這樣也就知道了da的長，進而de、ae的長也知道了。要求出cf，關鍵是知道bf=ab－cd=1。
證明: 過點c作cf⊥ab，垂足為f
∵ 在梯形abcd中，ab∥cd，∠a=90°，
∴ ∠d＝∠a＝∠cfa＝90°．
∴四邊形afcd是矩形．
∴ad=cf af=cd
bf=ab-af=ab－cd=1．
在rt△bcf中，根據勾股定理，得 cf2+bf2=bc2 ∴cf==
ad=cf=．
∵e是ad中點 ∴ de=ae=ad=
在rt△abe中，根據勾股定理，得 ae2+ab2=be2 ∴be2=6
同理，ec2 =3，
在△bce中，eb2+ ec2=9=bc2 ∴∠ceb＝90°
即eb⊥ec．
（二）如果證明∠ced+∠bea=90°，由於題目中給出已知條件是線段的長度，在一般情況下，只知道線段的長度是不能求出∠ced和
∠bea的度數，顯然不能利用這種方法證明結論成立。
（注意：如果∠ced+∠bea+∠cef+∠bef=180°，
且∠ced=∠cef，∠bea=∠bef，就可以得到：
∠ced+∠bea+∠cef+∠bef=2（∠ced+∠bef）=180°
→∠ced+∠bef=90°）
例6 把兩個含有45°角的直角三角板abc和edc如圖放置，點d在bc上，鏈結be，ad，ad的延長線交be於點f．求證：af⊥be．
分析：圖中有兩個等腰直角三角形，就有很多相等
的線段和角，證明三角形全等比較容易。但是圖形比較
複雜，不容易找出全等三角形。
我們從已知條件出發，展開聯想：
題目中的第乙個條件：
兩個含有45°角的直角三角板abc和edc
→ac=bc，cd=ce，∠abc=∠dce=90°
→△acd和△bce全等
題目中的第二個條件：點d在bc上→bc與af相交與d→∠adc=∠bdf
利用全等三角形對應角相等，可以得到∠dac＝∠ebc，再利用對頂角相等，可以知道△bfd和△acd已經有兩個角對應相等，那麼第三個角一定相等。而第三個角中有乙個角是直角，那麼另乙個角也一定是直角。
證法一：在△acd和△bce中
∵∴ △acd≌△bce（sas）
∴ ∠dac＝∠ebc
adc＝∠bdf
∴ ∠ acd=∠bfd＝90° 即af⊥be
我們發現上面使用紅字的推理使用了簡寫，完整的書寫應該是：
在△acd和△bce中
∵∠dac＝∠ebc ∠adc＝∠bdf
dac＋∠adc＝
180°－（∠dac＋∠adc）=180°－（∠ebc＋∠bdf）
即∠acd=∠bfd
acd=＝90° ∴∠bfd＝90° 即af⊥be
證法二：在rt△acd和rt△bce中，
∵ ac＝bc dc＝ec，
∴ 即tan∠dac＝tan∠ebc
∴ ∠dac＝∠ebc
adc＝∠bdf ∴ ∠ebc＋∠bdf＝∠dac＋∠adc=90°
bfd=90° ∴ af⊥be
（注意：在直角三角形中，如果兩個角的三角函式值相等，那麼這兩個角也相等。在其它三角形中這個命題則不一定成立。）
二、與四邊形有關的證明
與四邊形有關的證明，主要是證明符合條件的圖形是我們熟悉的特殊四邊形。這類題目的證明，首先要求我們熟悉各種特殊四邊形的性質和判定，然後根據題目的已知條件選擇方法，最後完成證明。
例7 如圖，在四邊形中，點是線段
上的任意一點（與不重合），分別是
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