海南大學課程教學總結
李文雅課程名稱：高等數學（advanced mathematics）
教學單位：資訊科學技術學院
課程資源**：
答疑信箱：189********
教務處督導科**：66279099；
資訊學院教務科**：66279136
（版權所有-----李文雅）
高等數學（上）
-----基本內容概括與總結
第一章函式的極限與連續
一、函式
1、理解函式的概念(要求：會求定義域、對應法則、函式值)
------函式的定義、分段函式、顯函式：，隱函式：，引數式函式、反函式（求法）、復合函式、 基本初等函式與初等函式
2、掌握函式的幾何性質
1）．有界性：（利用---定義、或閉區間上連續的有界性、或存在極限必有界-----判別）
2）．奇偶性： 若，則為奇函式
若， 則為偶函式
（注意：奇偶的結合律）
單調增：
3）．單調性
單調減：
（注意利用-----若則在上為單調增加（減少）
4）．週期性：若，則稱最小正數為的週期，為週期函式。
二、 極限（重點-----極限、無窮大量與無窮小量的概念、求極限的方法）
1、極限的概念與性質
1) 函式與數列極限的定義 （略）
2）左右極限、極限存在的充要條件
即極限存在的充要條件是左右極限存在且相等。
3）極限的性質-----有界性、唯一性、保號性。
2、無窮大量與無窮小量
1) 定義：
若時，為無窮小量;
若，則稱，時，g（x）是無窮大量。
2)無窮大與無窮小的關係：
3）、極限與無窮小量的關係：
無窮小量的性質-----主要的：
4）無窮小的階的比較----兩個無窮小之商的極限，一般說來隨著無窮小的不同而不同，從而產生了兩個無窮小之間的「高階」、「同階」、「等價」等概念，它們反映了兩個無窮小趨於零的快慢程度。
定義設是同一種變化趨勢下的無窮小,即則：
如果,就說是比高階的無窮小,記作；
如果,就說是比低階的無窮小；
如果,就說與是同階無窮小；
如果,就說是關於的階無窮小；
如果,就說與是等價無窮小,記作.
等階無窮小量的乙個重要性質：
若，且存在，則。
即：在乘除運算的極限中用等階無窮小（無窮大）替換不改變其極限。
常見的等階無窮小：時
， ， 。
3、求極限的主要方法
1） 極限運算法則
2） 左右極限存在且相等
3） 極限存在的準則------
兩邊夾th.（準則）、
如果數列及滿足下列條件：
（1）,
（2）那麼數列的極限存在,且.
單調有界 th.（準則）-----單調有界數列必有極限。
4） 無窮大與無窮小的關係、無窮小量的性質
5） 兩個重要極限
一般形式。
一般形式：
6） 洛必塔法則
三、連續
1、理解函式連續的概念
函式在點連續的定義
設在點的某個鄰域內有定義，若
，則稱在點連續，稱為的連續點。
連續函式的定義：
若在上點點都連續，則稱是區間上的連續函式，區間稱為的連續區間。
若在上連續，則還要求：
結論：函式在點連續的充要條件是函式在點既左連續，又右連續.
2、間斷點的分類
第一類間斷點（左、右極限存在的間斷點）
第二類間斷點（左、右極限至少乙個不存在的間斷點）
3、連續函式的主要性質
1）一切初等函式在其定義域對應的區間內連續
2）連續與極限的關係：連續極限存在
3）閉區間上連續函式的性質
若在閉區間上連續，則
1、一定有界：。 （有界性th.）。
2、一定存在最大值和最小值。 （最大和最小值th.）。
3、對於任乙個：，存在使。（介值th.）。
4、如果=0。
（零點th.）。
第二章導數與微分
一、理解導數與微分的概念
1、導數定義
1）對的導函式, 簡稱為導數, 記為，即 。
2）在點的導數為
。注意理解------導數定義的幾種等價形式：
3）導數存在的充要條件是：左、右導數存在且相等，即
（左導數）
（右導數）
即2、導數的幾何意義
=曲線在點處的切線的斜率，
即 =，
因此, 曲線在點的切線方程為：
；法線方程為：。
3、微分的定義
增量微分 =
4、連續、導數與微分的關係：
可導可微
二、導數與微分基本公式）
導數公式微分公式
三、導數與微分法則
1、四則運算法則
設均可導、可微，則
也可導、可微，且
導數法則微分法則
2、復合函式的微分法則
（導數）設而，且及都可導則復合函式也可導，且
或 (微分)----微分形式不變性：
3、隱函式的求導方法
方法一：復合求導法----方程兩邊對x求導，再解出
方法二：微分法求導法----方程兩邊微分先出微分，再求導數。
4、對數求導法
------先取對數後求導的方法。
5、高階求導法
-----一階、一階地求導，再找規律
6、引數方程確定的函式求導法
四、微分的近似計算應用（略）
第三章微分中值定理與導數應用
一、微分中值定理
1、羅爾th.、拉格朗日th.、柯西th.
若在[a,b]上連續，在點(a,b)內可導，則
2、 2個推論
3、 泰勒th.
若在含有的某個區間內存在直到階導數，則對該區間內任意點都有：
即其中：，（在與之間的數）稱為拉格朗日型餘項，且
二、洛必塔法則
（）==a(或)。
（其他未定型極限要先化為後才用該法則）
三、函式單調性\曲線的凹凸性及拐點的判別方法
1、 函式單調性的判別方法
設在區間內連續，在內可導，若在內，則在上為單調增加（減少）
2、 曲線的凹凸性及拐點的判別方法
設在上連續，且二階可導，若》0 (<0) ，則曲線曲線在上為凹（凸）的；若=0，且點左、右邊二階導數變號，則為曲線的拐點。
4、函式的極值與最大、最小值及其求法
1、 可微的在點取得極值的必要條件為：
一般的，使的點稱為的駐點（或穩定點、靜止點）。
使不存在的點稱為的奇異點。
2 、極值的判別方法：
（判別方法一）設在點某鄰域內可導，且（或不存在）
若點左邊，右邊，則為極大值 ；
若點左邊,右邊,則為極小值 ；
若點左、右邊不變號，則不是極值。
（判別方法二）設在點存在，且
若 ；
若 。
（判別方法三）設則
當3、函式的最大、最小值求法
求出駐點，奇異點和區間端點的函式值加以比較，最大（小）者為最大（小）值
五、求漸近線的方法
1、 若
2、 若
3、若作圖(略)
六曲率、弧微分公式（略）
1、弧微分公式
已知曲線弧方程為（可微），則其弧微分公式為： （）
若曲線方程為，則
2、曲率的計算公式
曲線方程為y=f(x), 則
第四章不定積分
一、不定積分的概念與性質
1、理解原函式與不定積分的概念
設函式和在區間上都有定義，若或者，則稱函式為在區間上的乙個原函式．
函式在區間上的全體原函式+c稱為在區間上的不定積分，記作，
即2、不定積分的性質
1）、積分與微分的關係：
（先積後導） （先導後積）
（先積後微） （先微後積）
2）、積分的運算性質：
3）、積分的形式與積分變數選擇無關
若則。二、積分基本公式
12)，(為常數)，
特別地，當時，記作，
3)，， 4)，
5)， 或者，
6)．或者
78)，
9)，10)，
11)， 12)，
1314），
15）， 16），
17)， 18)，
19)， 20)，
21)， 22)，
23)， 24）
高等數學各章總結
第一章函式 一 知識結構 二 例題 判斷題1.設,可以復合成乙個函式 2.函式的定義域是且 3.函式在內無界 4.函式在內無界 5.是奇函式 6.與是相同函式 7.函式是奇函式 8.與是同一函式 9.函式是奇函式 10.函式的定義域是 11.與不是同乙個函式 12.函式是偶函式 填空題1.設則復合函...
高等數學各章總結
第一章函式 一 知識結構 二 例題 判斷題1.設,可以復合成乙個函式 2.函式的定義域是且 3.函式在內無界 4.函式在內無界 5.是奇函式 6.與是相同函式 7.函式是奇函式 8.與是同一函式 9.函式是奇函式 10.函式的定義域是 11.與不是同乙個函式 12.函式是偶函式 填空題1.設則復合函...
高等數學公式總結
導數公式 基本積分表 三角函式的有理式積分 一些初等函式兩個重要極限 三角函式公式 誘導公式 和差角公式和差化積公式 倍角公式 半形公式 正弦定理 餘弦定理 反三角函式性質 高階導數公式 萊布尼茲 leibniz 公式 中值定理與導數應用 曲率 定積分的近似計算 定積分應用相關公式 空間解析幾何和向...