第七章應力狀態和強度理論習題解
[習題7-1] 試從圖示各構件中a點和b點處取出單元體，並表明單元體各面上的應力。
[習題7-1（a）]
解：a點處於單向壓應力狀態。
[習題7-1（b）]
解：a點處於純剪下應力狀態。
[習題7-1（b）]
解：a點處於純剪下應力狀態。
b點處於平面應力狀態
[習題7-1（d）]
解：a點處於平面應力狀態
[習題7-2] 有一拉伸試樣，橫截面為的矩形。在與軸線成角的面上切應力時，試樣上將出現滑移線。試求試樣所受的軸向拉力f。
解：；；
出現滑移線，即進入屈服階段，此時，
[習題7-3] 一拉桿由兩段沿面膠合而成。由於實用的原因，圖中的角限於範圍內。作為「假定計算」，對膠合縫作強度計算時，可以把其上的正應力和切應力分別與相應的許用應力比較。
現設膠合縫的許用切應力為許用拉應力的，且這一拉桿的強度由膠合縫強度控制。為了使杆能承受最大的荷載f，試問角的值應取多大？
解：；；
由以上曲線可知，兩曲線交點以左，由正應力強度條件控制最大荷載；交點以右，由切應力強度條件控制最大荷載。由圖中可以看出，當時，桿能承受最大荷載，該荷載為：
[習題7-4] 若上題中拉桿膠合縫的許用應力，而，，則值應取多大？若杆的橫截面面積為，試確定其最大許可荷載。
解： 由上題計算得：
由以上曲線可知，兩曲線交點以左，由正應力強度條件控制最大荷載；交點以右，由切應力強度條件控制最大荷載。由圖中可以看出，當時，桿能承受最大荷載，該荷載為：
[習題7-5] 試根據相應的應力圓上的關係，寫出圖示單元體任一斜面上正應力及切應力的計算公式。設截面的法線與軸成角如圖所示（作圖時可設）。
解：座標面應力：x（，0）；y（，0）
設斜面的應力為m（，）。x、y點
作出如圖所示的應力圓。
由圖中的幾何關係可知：
[習題7-6] 某建築物地基中的一單元體如圖所示，（壓應力），（壓應力）。試用應力圓求法線與軸成順時針夾角且垂直於紙面的斜面上的正應力及切應力，並利用習題7-5中得到的公式進行校核。
解：座標面應力：x（-0.05，0）；y（-0.2，0）
。根據以上資料作出如圖所示的應
力圓。圖中比例尺為代表。
按比例尺量得斜面的應力為：
按習題7-5得到的公式計算如下：
作圖法（應力圓法）與解析法（公式法）的結果一致。
[習題7-7] 試用應力圓的幾何關係求圖示懸臂梁距離自由端為的截面上，在頂面以下的一點處的最大及最小主應力，並求最大主應力與軸之間的夾角。
解：（1）求計算點的正應力與切應力
（2）寫出座標面應力
x（10.55，-0.88）
y（0，0.88）
(3) 作應力圓求最大與最小主應力，
並求最大主應力與軸的夾角
作應力圓如圖所示。從圖中按
比例尺量得：
[習題7-8] 各單元體面上的應力如圖所示。試利用應力圓的幾何關係求：
（1）指定截面上的應力；
（2）主應力的數值；
（3）在單元體上繪出主平面的位置及主應力的方向。
[習題7-8（a）]
解：座標面應力：x（20，0）；y（-40，0）。根據以上資料作出如圖所示的應
力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
，；，；。
[習題7-8（b）]
解：座標面應力：x（0，30）；y（0，-30）。根據以上資料作出如圖所示的應力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
，；，；。
[習題7-8（c）]
解：座標面應力：x（-50，0）；y（-50，0）。根據以上資料作出如圖所示的應力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
，；，。
[習題7-8（d）]
解：座標面應力：x（0，-50）；y（-20，50）。根據以上資料作出如圖所示的應力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
，；,，；。
[習題7-9] 各單元體如圖所示。試利用應力圓的幾何關係求：
（1）主應力的數值；
（2）在單元體上繪出主平面的位置及主應力的方向。
[習題7-9（a）]
解：座標面應力：x（130，70）；y（0，-70）。根據以上資料作出如圖所示的應
力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
,，；。
[習題7-9（b）]
解：座標面應力：x（-140，-80）；y（0，80）。根據以上資料作出如圖所示的應
力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
,，；。
[習題7-9（c）]
解：座標面應力：x（-20，-10）；y（-50，10）。根據以上資料作出如圖所示的應
力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
,，；。
[習題7-9（d）]
解：座標面應力：x（80，30）；y（160，-30）。根據以上資料作出如圖所示的應
力圓。圖中比例尺為代表。按比例尺量得斜面的應力為：
,，；。
[習題7-10] 已知平面應力狀態下某點處的兩個截面的的應力如圖所示。試利用應力圓求該點處的主應力值和主平面方位，並求出兩截面間的夾角值。
解：兩斜面上的座標面應力為：
a（38，28），b（114，-48）
由以上上兩點作出的直線ab是應力圓上的一條弦，
如圖所示。作ab的垂直平分線交水平座標軸於c
點，則c為應力圓的圓心。設圓心座標為c（）
則根據垂直平線上任一點到線段段兩端的距離相等
性質，可列以下方程：
解以上方程得：。即圓心座標為c（86，0）
應力圓的半徑：
主應力為：
（2）主方向角
上斜面a與中間主應力平面之間的夾角）
（上斜面a與最大主應力平面之間的夾角）
（3）兩截面間夾角：
[習題7-11] 某點處的應力如圖所示，設及值為已知，試考慮如何根據已知資料直接作出應力圓。
解： …………(1)
…………(2)
(1)、（2）聯立，可解得和。
至此，三個面的應力均為已知：x（，0），y（，0）（，均為負值）；
（）。由x，y面的應力就可以作出應力圓。
[習題7-12] 一焊接鋼板梁的尺寸及受力情況如圖所示，梁的自重略去不計。試示上三點處的主應力。
解：（1）求點的主應力
因點處於單向拉伸狀態，故，。
（2）求點的主應力
在的左鄰截面上，
即座標面應力為x（193.081,60.821）,y(0,-60.821).
（3）求點的主應力
即座標面應力為x（0,84.956）,y(0,-84.956).
[習題7-13] 在一塊鋼板上先畫上直徑的圓，然後在板上加上應力，如圖所示。試問所畫的圓將變成何種圖形？並計算其尺寸。已知鋼板的彈性模量，。
解：座標面應力x（70，21），y（14，-21）
所畫的圓變成橢圓，其中
（長軸）
（短軸）
[習題7-14] 已知一受力構件表面上某點處的，，，單元體的三個面上都沒有切應力。試求該點處的最大正應力和最大切應力。
解：最大正應力為。最小正應力是。
最大切應力是
[習題7-15] 單元體各面上的應力如圖所示。試用應力圓的幾何關係求主應力及最大切應力。
[習題7-15（a）]
解：座標面應力：x（70，-40），y（30，-40），z（50，0）
由xy平面內應力值作a、b點，連線a、b交軸得圓心c（50，0）
應力圓半徑：
[習題7-15（b）]
解：座標面應力：x（60，40），y（50，0），z（0，-40）
由xz平面內應力作a、b點，連線a、b交軸於c點，oc=30，故應力圓圓心c（30，0）
應力圓半徑：
[習題7-15（c）]
解：座標面應力：x（-80，0），y（0，-50），z（0，50）g
由yz平面內應力值作a、b點，圓心為o，半徑為50，作應力圓得
[習題7-16] 已知一點處應力狀態的應力圓如圖所示。試用單元體示出該點處的應力狀態，並在該單元體上繪出應力圓上a點所代表的截面。
[習題7-16(a)]
解：該點處於三向應力狀態：，，。a點所代表的截面平行於的方向。據此，可畫出如圖所示的單元體圖和a截的位置。
[習題7-16(b)]
解：該點處於三向應力狀態：，，。a點所代表的截面平行於的方向。據此，可畫出如圖所示的單元體圖和a截的位置。
[習題7-17] 有一厚度為的鋼板，在兩個垂直方向受拉，拉應力分別為150及55。鋼材的彈性常數為，。試求鋼板厚度的減小值。
解： 鋼板厚度的減小值為：
[習題7-18] 邊長為的鋼立方體置於鋼模中，在頂面上均勻地受力作用。已知，假設鋼模的變形以及立方體與鋼模之間的摩擦力可略去不計。試求立方體各個面上的正應力。
材料力學習題冊答案第7章應力狀態
第七章應力狀態強度理論 一 判斷題 1 平面應力狀態即二向應力狀態，空間應力狀態即三向應力狀態。2 單元體中正應力為最大值的截面上，剪應力必定為零 3 單元體中剪應力為最大值的截面上，正應力必定為零。原因 正應力一般不為零。4 單向應力狀態的應力圓和三向均勻拉伸或壓縮應力狀態的應力圓相同，且均為應力...
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