第七章應力狀態與強度理論
一、教學目標和教學內容
1． 教學目標
通過本章學習，掌握應力狀態的概念及其研究方法；會從具有受力桿件中擷取單元體並標明單元體上的應力情況；會計算平面應力狀態下斜截面上的應力；掌握平面應力狀態和特殊空間應力狀態下的主應力、主方向的計算，並會排列主應力的順序；掌握廣義胡克定律；了解複雜應力狀態比能的概念；了解主應力跡線的概念。掌握強度理論的概念。
了解材料的兩種破壞形式（按破壞現象區分）。
了解常用的四個強度理論的觀點、破壞條件、強度條件。
掌握常用的四個強度理論的相當應力。
了解莫爾強度理論的基本觀點。
會用強度理論對一些簡單的桿件結構進行強度計算。
2． 教學內容
應力狀態的概念；
平面應力狀態分析；
三向應力狀態下的最大應力；
廣義胡克定律體應變；
複雜應力狀態的比能；
⑥梁的主應力主應力跡線的概念。
講解強度理論的概念及材料的兩種破壞形式。
講解常用的四個強度理論的基本觀點，並推導其破壞條件從而建立強度計算方法。
介紹幾種強度理論的應用範圍和各自的優缺點。
簡單介紹莫爾強度理論。
二、重點難點
重點：1、平面應力狀態下斜截面上的應力計算，主應力及主方向的計算，最大剪應力的計算。
2、廣義胡克定律及其應用。
難點：1、應力狀態的概念，從具體受力桿件中截面單元體並標明單元體上的應力情況。
2、斜截面上的應力計算公式中關於正負符號的約定。
3、應力主平面、主應力的概念，主應力的大小、方向的確定。
4、廣義胡克定律及其應用。
5 強度理論的概念、常用的四個強度理論的觀點、強度條件及其強度計算。
6 常用四個強度理論的理解。
7 危險點的確定及其強度計算。
三、教學方式
採用啟發式教學，通過提問，引導學生思考，讓學生回答問題。
四、建議學時
10學時
五、講課提綱
1、應力狀態的概念
所謂「應力狀態」又稱為一點處的應力狀態（state of stresses at a given point）,是指過一點不同方向面上應力的集合。
應力狀態分析（analysis of stress-state）是用平衡的方法，分析過一點不同方向面上應力的相互關係，確定這些應力的極大值和極小值以及它們的作用面。
一點處的應力狀態，可用同一點在三個相互垂直的截面上的應力來描述，通常是用圍繞該點取出乙個微小正六面體（簡稱單元體element）來表示。單元體的表面就是應力作用面。由於單元體微小，可以認為單元體各表面上的應力是均勻分布的，而且一對平行表面上的應力情況是相同的。
例如，圖7.1截面mm上a~d點的應力狀態表示方式，如圖（c）所示。
圖7.1
7.2節中的分析將表明，一點處不同方向面上的應力是不相同的。我們把在過一點的所有截面中，切應力為零的截面稱為應力主平面，簡稱為主平面（principal plane）。
例如，圖（c）中a、d單元體的三對面及b、c單元體的前後一對表面均為主平面。由主平面構成的單元體稱為主單元體（principal element），如圖（c）中的a、d單元體。主平面的法向稱為應力主方向。
簡稱主方向（principal direction）。主平面上的正應力稱為主應力（principal stresss），如圖（c）中a、d單元體上的及。用彈性力學方法可以證明，物體中任一點總可找到三個相互垂直的主方向，因而每一點處都有三個相互垂直的主平面和三個主應力；但在三個主應力中有兩個或三個主應力相等的特殊情況下，主平面及主方向便會多於三個。
一點處的三個主應力，通常按其代數值依次用來表示，如圖（c）中a、d單元體，雖然它們都只有乙個不為零且絕對值相等的主應力，但須分別用，表示。根據一點處存在幾個不為零的主應力，可以將應力狀態分為三類：
1）單向（或簡單）應力狀態：三個主應力中只有乙個主應力不為零，如圖7.2（a）所示。
2）二向應力狀態：三個主應力中有兩個主應力不為零，如圖7.2（b）所示。
3）三向（或空間）應力狀態：三個主應力均不為零，如圖7.2（c）所示。
圖7.2
單向及二向應力狀態常稱為平面應力狀態（plane state of stresses）。二向及三向應力狀態又統稱為複雜應力狀態。因為，乙個單向應力狀態與另乙個單向應力狀態疊加，可能是單向、二向或零應力狀態；乙個單向應力狀態與乙個二向應力狀態疊加，可能是單向、二向或三向應力狀態；……。
也就是說，乙個應狀態與另乙個應力狀態疊加，不一定屬於原有應力狀態。
對於平面應力狀態，由於必有乙個主應力為零的主方向，可以用與該方向相垂直的平面單元來表示單元體，例如圖7.1（c）示各單元體，可以用圖7.1（d）示平面單元表示。
這時，應將零主應力方向的單元體邊長理解為單位長度。
在材料力學中所遇到的應力狀態，主要為平面應力狀態。本章重點討論平面應力狀態有關問題。
2、平面應力狀態分析
在本節中,將介紹在平面應力狀態下，如何根據單元體各面上的已知應力來確定任意斜截面上的應力。
在以下討論中，取平面單元位於xy平面內，如圖7.3（a）所示。已知x面（法線平行x軸的面）上的應力及，y面（法線平行於y軸的面）上有應力及。
根據切應力互等定理。現在需要求與z軸平行的任意斜截面ab上的應力。設斜截面ab的外法線n與x軸成角，以後簡稱該斜截面為面，並用及分別表示面上的正應力及切應力。
將應力、角正負號規定為：
角：從x方向反時針轉至麵外法線n的角為正值；反之為負值。角的取值區間為或。
正應力：拉應力為正，壓應力為負。
切應力：使微元體產生順時針方向轉動趨勢為正；反之為負。或者，截面外法線矢順時針向轉後的方向為正；反之為負。
求面上的應力、的方法，有解析法和**法兩種。分別介紹如下：
2.1解析法
利用截面法，沿截面ab將圖7.3（a）示單元切成兩部分，取其左邊部分為研究物件。設面的面積為da，則x面、y面的面積分別為及。
於是，得研究物件的受力情況如圖（b）示。該部分沿面法向及切向的平衡方程分別為：
圖7.3
由此得 （a）
由，，及，式（a）可改寫為：
7.1）
這就是斜面上應力的計算公式。應用時一定要遵循應力及角的符號規定。如果用替代式（9.1）第一式中的，則：
從而有 （7.2）
可見，在平面應力狀態下，一點處與z軸平行的兩相互垂直面上的正應力的代數和是乙個不變數。
由式（7.1）可知，斜截面上的應力、均為角的函式，即它們的大小和方向隨斜截面的方位而變化。現在來求它們的極限及平面應力狀態的主應力。
對於斜截面上的正應力，設極值時的角為，由得
可見，取極值的截面上切應力為零，即的極值便是單元體的主應力。這時的可由上式求得為：
7.3）
式（7.3）的在取值區間內有兩個根及，它說明與有關的兩個極值（主應力）的作用面（主平面）是相互垂直的。在按式（7.
3）求時，可以視，並按、、的正負號來判定、、的正負符號，從而唯一地確定或值。於是有
， ，將以上各式代入式（7.1）的第一式，得的兩個極值（對應面）、（對應面）為：
7.4）
可以證明，式（7.4）中的指向，是介於僅由單元體切應力產生的主拉應力指向（與x軸夾角為或）與單元體正應力、中代數值較大的乙個正應力指向之間。
式（7.4）的、為平面應力狀態一點處三個主應力中的兩個主應力，它的另乙個主應力為零。至於如何根據這三個主應力來排列、、的次序，應視、的具體數值來決定。
平面應力狀態下，切應力極值可按下述方法確定。設極值時的角為，由得：
7.5）
比較式（7.3）和式（7.5），有，可見，即斜截面上切應力的極值作用面與正應力的極值作用面互成夾角。
將由式（7.5）確定的代入式（7.1）的第二式，可以求得斜截面上切應力極值（對應）、（對應）為：
7.6）
這說明，斜截面上切應力極值的絕對值，等於該點處兩個正應力極值差的絕對值的一半。另外，由式（7.5）可得，代入式（7.1）第一式得：
7.7）
可見在極值作用面上的正應力相等，且為、的平均值。
2.2**（莫爾圓）法
平面應力狀態分析，也可採用**的方法。**法的優點是簡明直觀，勿須記公式。當採用適當的作圖比例時，其精確度是能滿足工程設計要求的。
這裡只介紹**法中的莫爾圓法，它是2023年德國工程師莫爾（o. mohr）對2023年德國庫爾曼（k. culman）提出的應力圓作進一步研究，借助應力圓確定一點應力狀態的幾何方法。
2.2.1應力圓方程
將式（9.1）改寫為：
a）於是，由上述二式得到一圓方程：
b）據此，若已知、、，則在以為橫座標，為縱座標軸的座標系中，可以畫出乙個圓，其圓心為，半徑為。圓周上一點的座標就代表單元體乙個斜截面上的應力。因此，這個圓稱為應力圓或莫爾圓（mohr circle for stresses）。
圖7.4
2.2.2應力圓的畫法
在已知、及（圖7.4（a）），作相應應力圓時，先在座標系中，按選定的比例尺，以(,)、(,)為座標確定x（對應x面）、y（對應y面）兩點，（在應力圓中，正應力以拉應力為正，切應力以與其作用麵外法線順時鐘轉向後的方向一致時為正）。然後直線連線x、y兩點交軸於c點，並以c點圓心，以或為半徑畫圓，此圓就是應力圓，如圖7.
4（b）。從圖中不難看出，應力圓的圓心及半徑，與式（b）完全相同。
2.2.3幾種對應關係
應力圓上的點與平面應力狀態任意斜截面上的應力有如下對應關係：
1） 點面對應
應力圓上某一點的座標對應單元體某一方面上的正應力和切應力值。如圖（9.4（a））上的n點的座標即為斜截面面的正應力和切應力。
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