第九講極限與探索性問題的解題技巧
【命題趨向】綜觀2023年全國各套高考數學試題，我們發現對極限的考查有以下一些知識型別與特點：
1．數學歸納法
①客觀性試題主要考查學生對數學歸納法的實質的理解，掌握數學歸納法的證題步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用)．
②解答題大多以考查數學歸納法內容為主，並涉及到函式、方程、數列、不等式等綜合性的知識，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬於中高檔難度的題目
③數學歸納法是高考考查的重點內容之一.模擬與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用數學歸納法的一種主要思想方法. 在由n=k時命題成立，證明n=k+1命題也成立時，要注意設法化去增加的項，通常要用到拆項、組合、添項、減項、分解、化簡等技巧，這一點要高度注意．
2. 數列的極限
①客觀性試題主要考查極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數列所有項和等內容，對基本的計算技能要求比較高，直接運用四則運算法則求極限．
②解答題大多結合數列的計算求極限等，涉及到函式、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬於中高檔難度的題目.
③數列與幾何：由同樣的方法得到非常有規律的同一類幾何圖形，通常相關幾何量構成等比數列，這是一類新題型．
3．函式的極限
①此部分為新增內容，本章內容在高考中以填空題和解答題為主．應著重在概念的理解，通過考查函式在自變數的某一變化過程中，函式值的變化趨勢，說出函式的極限．
②利用極限的運算法則求函式的極限進行簡單的運算．
③利用兩個重要極限求函式的極限．
④函式的連續性是新教材新增加的內容之一.它把高中的極限知識與大學知識緊密聯在一起.在高考中，必將這一塊內容溶入到函式內容中去，因而一定成為高考的又乙個熱點.
4.在一套高考試題中，極限一般分別有1個客觀題或1個解答題，分值在5分—12分之間．
5.在高考試題中，極限題多以低檔或中檔題目為主，一般不會出現較難題，更不會出現難題，因而極限題是高考中的得分點．
6.注意掌握以下思想方法
1 極限思想：在變化中求不變，在運動中求靜止的思想；
2 數形結合思想，如用導數的幾何意義及用導數求單調性、極值等.
此類題大多以解答題的形式出現，這類題主要考查學生的綜合應用能力，分析問題和學生解決問題的能力，對運算能力要求較高．
【考點透視】
1．理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．
2．了解數列極限和函式極限的概念．
3．掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函式的極限．
4．了解函式連續的意義，了解閉區間上連續函式有最大值和最小值的性質．
【例題解析】
考點1 數列的極限
1.數列極限的定義：一般地，如果當項數n無限增大時，無窮數列的項an無限地趨近於某個常數a（即|an－a|無限地接近於0），那麼就說數列以a為極限.
注意：a不一定是｛an｝中的項.
2.幾個常用的極限：① c=c（c為常數）;②=0;③qn=0（|q|＜1）.
3.數列極限的四則運算法則：設數列｛an｝、｛bn｝，
當an=a, bn=b時， （an±bn）=a±b;
例1. ( 2023年湖南卷）數列{}滿足:,且對於任意的正整數m,n都有,則
a. b. c. d.2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式的應用.
[解答過程]由和得
故選a.
例2．（2023年安徽卷）設常數，展開式中的係數為，則_____.
[考查目的]本題考查利用二項式定理求出關鍵數, 再求極限的能力.
[解答過程]，由，所以，所以為1.
例3. （2023年福建卷理）把展開成關於的多項式，其各項係數和為，則等於
a． b． c． d．2
[考查目的]本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式的應用.
[解答過程]
故選d例4. (2023年天津卷理)設等差數列的公差是2，前項的和為，則 ．
思路啟迪：由等差數列的公差是2，先求出前項的和為和通項．
[解答過程]
故填3小結:
1.運用數列極限的運算法則求一些數列的極限時必須注意以下幾點：
（1）各數列的極限必須存在；
（2）四則運算只限於有限個數列極限的運算.
2.熟練掌握如下幾個常用極限：
（1）c=c（c為常數）;
（2）（）p=0（p＞0）;
（3）=（k∈n *,a、b、c、d∈r且c≠0）;
（4）qn=0（|q|＜1）.
例5. (2023年重慶卷理)設正數a, b滿足則（ ）
（a）0 （b） （c） （d）1
解: 故選b
小結:重視在日常學習過程中運用化歸思想.
考點2 函式的極限
1.函式極限的概念：
（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那麼就說當x趨向於無窮大時，函式f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當x→∞時，f（x）→a.
（2）一般地，當自變數x無限趨近於常數x0（但x不等於x0）時，如果函式f（x）無限趨近於乙個常數a,就說當x趨近於x0時，函式f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當x→x0時，f（x）→a.
（3）一般地，如果當x從點x=x0左側（即x＜x0＝無限趨近於x0時，函式f（x）無限趨近於常數a,就說a是函式f（x）在點x0處的左極限，記作f （x）=a.如果從點x=x0右側（即x＞x0）無限趨近於x0時，函式f （x）無限趨近於常數a,就說a是函式
f （x）在點x0處的右極限，記作f（x）=a.
2.極限的四則運算法則：
如果f （x）=a, g（x）=b,那麼
[f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）·g（x）]=a·b; =（b≠0）.
例6．(2023年江西卷理) =( )
a．等於0b．等於lc．等於3d．不存在
[考查目的]本題主要考查利用同解變形求函式極限的能力.
[解答過程]故選b
例7．(2023年四川卷理) ( )
（a）0 （b）1 （c） （d）
[考查目的]本題主要考查利用分解因式同解變形求函式極限的能力.
[解答過程]
故選d例8.若f （x）=在點x=0處連續，則f （0
思路啟迪：利用逆向思維球解.
解答過程：∵f（x）在點x=0處連續，∴f （0）=f （x）,
f （x）= = =.
答案:例9.設函式f （x）=ax2+bx+c是乙個偶函式,且f （x）=0, f （x）=－3,求這一函式最大值..
思路啟迪：由函式f （x）=ax2+bx+c是乙個偶函式,利用f （－x）=f （x）構造方程,求出b的值.
解答過程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函式,
∴f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c.
∴b=0.∴f （x）=ax2+c.
又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3,
∴a=－1,c=1.∴f （x）=－x2+1.∴f （x）max=f（0）=1.
∴f （x）的最大值為1.
例10.設f（x）是x的三次多項式，已知===1.
求的值（a為非零常數）.
解答過程：由於=1,可知f（2a）=0
同理f（4a）=0
由①②，可知f（x）必含有（x－2a）與（x－4a）的因式，由於f（x）是x的三次多項式，故可設f（x）=a（x－2a）（x－4a）（x－c）.
這裡a、c均為待定的常數.
由=1,即
=a（x－4a）（x－c）=1,
得a（2a－4a）（2a－c）=1,
即4a2a－2aca=－1
同理，由於=1,
得a（4a－2a）（4a－c）=1,
即8a2a－2aca=1
由③④得c=3a,a=,
因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.
∴=（x－2a）（x－4a）
=·a·（－a）=－.
例11 a為常數，若（－ax）=0,則a的值是
思路啟迪：先對括號內的的式子變形.
解答過程：∵（－ax）= ==0,
∴1－a2=0.∴a=±1.但a=－1時，分母→0,
∴a=1.
考點3.函式的連續性及極限的應用
1.函式的連續性.
一般地，函式f（x）在點x=x0處連續必須滿足下面三個條件：
（1）函式f（x）在點x=x0處有定義；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函式y=f（x）在點x=x0處及其附近有定義，而且f（x）=f（x0）,就說函式f（x）在點x0處連續.
2.如果f（x）是閉區間［a,b］上的連續函式，那麼f（x）在閉區間［a,b］上有最大值和最小值.
3.若f（x）、g（x）都在點x0處連續,則f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在點x0處連續.若u（x）在點x0處連續,且f（u）在u0=u（x0）處連續,則復合函式f［u（x）］在點x0處也連續.
例12..f（x）在x=x0處連續是f（x）在x=x0處有定義的_________條件.
a.充分不必要b.必要不充分
c.充要d.既不充分又不必要
思路啟迪：說明問題即可.
解答過程：f（x）在x=x0處有定義不一定連續.
答案：a
例13.f（x）=的不連續點為( )
a.x=0b.x=（k=0,±1,±2,…）
c.x=0和x=2kπ（k=0,±1,±2,…） d.x=0和x=（k=0,±1,±2,…）
思路啟迪：由條件出發列方程解之.
高考數學專題極限與探索性問題的解題技巧
第九講極限與探索性問題的解題技巧 命題趨向 綜觀2007年全國各套高考數學試題，我們發現對極限的考查有以下一些知識型別與特點 1 數學歸納法 客觀性試題主要考查學生對數學歸納法的實質的理解，掌握數學歸納法的證題步驟 特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用 解答題大多以考查數學歸納法內容為...
考研數學 極限與導數專題重點解析
考研數學中高等數學極限與導數部分是歷年必考的重要知識點，也是考生容易丟分的考點，本文中跨考教育數學教研室對極限與導數做重點解析，希望通過解析讓考生了解極限 導數考查的重點 題型及方法。一 極限 極限是考研數學每年必考的內容,在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到平均每年直接考查所佔的分值在10分左右，而...
2019屆中考數學專題複習命題與證明專題訓練
命題與證明 一 選擇題 1.下列命題中，錯誤的是 a.矩形的對角線互相平分且相等b.等腰三角形底邊上的中點到兩腰的距離相等 c.等腰梯形的兩條對角線相等d.對角線互相垂直的四邊形是菱形 2.下列說法中，正確的是 a.乙個角的補角一定比這個角大b.乙個角的餘角一定比這個角小 c.一對對頂角的兩條角平分...