8.1.1 基本原理
topsis法是technique for order preference by similarity to ideal solution的縮寫，即逼近於理想解的技術，它是一種多目標決策方法。方法的基本思路是定義決策問題的理想解和負理想解，然後在可行方案中找到乙個方案，使其距理想解的距離最近，而距負理想解的距離最遠。
理想解一般是設想最好的方案，它所對應的各個屬性至少達到各個方案中的最好值；負理想解是假定最壞的方案，其對應的各個屬性至少不優於各個方案中的最劣值。方案排隊的決策規則，是把實際可行解和理想解與負理想解作比較，若某個可行解最靠近理想解，同時又最遠離負理想解，則此解是方案集的滿意解。
8.1.2 距離的測度
採用相對接近測度。設決策問題有m個目標（），n個可行解（）；並設該問題的規範化加權目標的理想解是z*，其中
，那麼用歐幾里得範數作為距離的測度，則從任意可行解到的距離為：
i=1 ，…，n8.1)
式中，zij 為第j個目標對第i個方案（解）的規範化加權值。
同理，設=為問題的規範化加權目標的負理想解，則任意可行解到負理想解之間的距離為：
i=1 ，…，n8.2)
那麼，某一可行解對於理想解的相對接近度定義為：
0≤ci ≤1,i=1，…，n8.3)
於是，若是理想解，則相應的ci =1；若是負理想解，則相應的c i =0。愈靠近理想解，ci 愈接近於1；反之，愈接近負理想解， ci 愈接近於0。那麼，可以對 ci 進行排隊，以求出滿意解。
8.1.3 topsis法計算步驟
第一步： 設某一決策問題，其決策矩陣為a. 由a可以構成規範化的決策矩陣z′，其元素為z′ij，且有
8.4)
式中，fij 由決策矩陣給出。
8.5)
第二步： 構造規範化的加權決策矩陣z，其元素zij
zij =wj z′ij i=1，…，n； j =1，…，m8.6)
wj為第j個目標的權。
第三步： 確定理想解和負理想解。如果決策矩陣z中元素zij值越大表示方案越好，則
8.7)
8.8)
第四步：計算每個方案到理想點的距離si和到負理想點的距離s -i 。
第五步：按式(8.3)計算ci，並按每個方案的相對接近度ci 的大小排序，找出滿意解。
多目標綜合評價排序的方法較多，各有其應用價值。在諸多的評價方法中，topsis法對原始資料的資訊利用最為充分，其結果能精確的反映各評價方案之間的差距，topsis對資料分布及樣本含量，指標多少沒有嚴格的限制，資料計算亦簡單易行。不僅適合小樣本資料，也適用於多評價物件、多指標的大樣本資料。
利用topsis法進行綜合評價，可得出良好的可比性評價排序結果。
8.1.4應用例項
1、topsis法在醫療質量綜合評價中的應用
試根據表8.1資料，採用topsis法對某市人民醫院1995~2023年的醫療質量進行綜合評價。
表8.1 某市人民醫院1995~2023年的醫療質量
在原始資料指標中，平均住院日、病死率、院內感染率三個指標的數值越低越好，這三個指標稱為低優指標；其它指標數值越高越好，稱為高優指標。是低優指標的可轉化為高優指標，其方法為是絕對數低優指標可使用倒數法（），是相對數低優指標，可使用差值法（）。這裡，平均住院日採用倒數轉化，病死率、院內感染率採用差值轉化。
轉化後資料見表8.2。
表8.2 轉化指標值
根據表8.2資料，利用公式（8.4）進行歸一化處理，得歸一化矩陣值，如表8.3。
8.9）
例如計算2023年床位周轉次數歸一化值，由公式（8.9）得：
其餘歸一化數值以此類推。
表8.3 歸一化矩陣值
由式（8.7）和式（8.8）得最優方案和最劣方案：
（8.10）
（8.11）
由式（8.10）、（8.11）和式（8.1）、（8.2）計算各年度和，見表8.4
例如計算2023年和：
（8.12）
（8.13）
其餘各年依次類推。
由式（8.3）計算各年度，見表8.4
例如計算2023年：
8.14）
其餘各年以次類推。
表8.4 不同年度指標值與最優值的相對接近程度及排序結果
由表8.4的排序結果可知2023年醫療質量最好。
2 topsis法在環境質量綜合評價中的應用例項
在環境質量評價中，把每個樣品的監測值和每級的標準值，分別看作topsis法的決策方案，由topsis法可以得到每個樣品和每級標準值的ci 值，對ci 值大小排序，便可以得到每個樣品的綜合質量及不同樣品間進行綜合質量優劣比較。
表8.5列出所選的參評要素和所確定的評判等級及其代表值
表8.5 某海灣沿岸海水侵染程度分級表
測得111＃和112＃水樣的各參評要素值如表8.6。
表8.6 111＃和112＃水樣監測值
取海水侵染ⅰ～ⅳ級標準值和111＃及112＃樣品監測值構成topsis法中的決策矩陣a，那麼
由式(8.4)算出a 的規範化矩陣z′
因在制定海水侵染分級標準時，各因子的重要性已隱含在分級標準值中，因此，本文由標準值來確定權重，其計算式如下：
8.15)
式中，wi為因子的權重；為標準分級數，在本例中；為因子的第級標準值；為因子的第級標準值。
式(8.15)適用於低優指標型因子，在本例中如氯離子、礦化度、溴離子、納吸附比等，權重計算時用sⅲ/si；而對高優指標型因子如rhco3/rhcl，計算時用sⅱ/sⅳ。
通過計算得權重向量wt=｛0.198 0.119 9 0.239 8 0.371 7 0.076 7｝
由式(8.6)得加權後的規範化矩陣z為
由式(8.7)，式(8.8)得
0.1768 0.0898 0.2288 0.2520 0.0719｝
-=｛0.0081 0.0128 0 0.0041 0.0064｝
最後，由式(8.1)，式(8.2)和式(8.3)計算，和ci 值(表8.7)。
表8.7，和ci 值表
把ci 排序得
c 112＞cⅰ＞c 111＞cⅱ＞cⅲ＞cⅳ
於是可知：112＃樣品綜合質量優於111＃樣品綜合質量，112＃樣品質量優於i級標準最低界限值，為i級；111＃樣品質量介於i級和ⅱ級最低界限值之間，屬於ⅱ級。因此，111 ＃樣品為輕度侵染，112＃樣品為無或很輕汙染。
由監測值也可以知道：111＃有4個因子達到ⅱ級，1個因子達到i級；112＃有2個因子達到ⅱ級(接近i級)，3個因子達到i級。因此，本方法評價結果符合客觀實際。
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