2.2.1 綜合法和分析法
授課教師： 王巨集郭懿
教學要求：結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.
教學重點：會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.
教學難點：根據問題的特點，結合綜合法的思考過程、特點，選擇適當的證明方法.
教學過程：
一、複習準備：
1. 已知 「若，且，則」，試請此結論推廣猜想.
（答案：若，且，則）
2. 已知，，求證：.
先完成證明→討論：證明過程有什麼特點？
3. 提問：基本不等式的形式？
4. 討論：如何證明基本不等式.
（討論 → 板演→ 分析思維特點：從結論出發，一步步探求結論成立的充分條件）
二、講授新課：
1. 教學例題：
(1).出示例1：已知a, b, c是不全相等的正數，求證：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc.
分析：運用什麼知識來解決？（基本不等式） → 板演證明過程（注意等號的處理）
→ 討論：證明形式的特點
(2).提出綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立.
框圖表示： 要點：順推證法；由因導果.
(3) .練習：已知a，b，c是全不相等的正實數，求證.
(4) .出示例2：在△abc中，三個內角a、b、c的對邊分別為a、b、c，且a、b、c成等差數列，a、b、c成等比數列. 求證：為△abc等邊三角形.
分析：從哪些已知，可以得到什麼結論？ 如何轉化三角形中邊角關係？
→ 板演證明過程 → 討論：證明過程的特點.
→ 小結：文字語言轉化為符號語言；邊角關係的轉化；挖掘題中的隱含條件（內角和）
(5). 出示例3：求證.
討論：能用綜合法證明嗎？ → 如何從結論出發，尋找結論成立的充分條件？
→ 板演證明過程 （注意格式）
→ 再討論：能用綜合法證明嗎？ → 比較：兩種證法
(6).提出分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.
框圖表示： 要點：逆推證法；執果索因.
(7). 練習：設x > 0，y > 0，證明不等式：.
先討論方法 → 分別運用分析法、綜合法證明.
(8). 出示例4：見教材p48. 討論：如何尋找證明思路？（從結論出發，逐步反推）
(9).出示例5：見教材p49. 討論：如何尋找證明思路？（從結論與已知出發，逐步探求）
2. 練習：
1.為銳角，且，求證：. （提示：算）
2. 已知求證：
3. 證明：通過水管放水，當流速相等時，如果水管截面（指橫截面）的周長相等，那麼截面的圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
提示：設截面周長為l，則周長為l的圓的半徑為，截面積為，周長為l的正方形邊長為，截面積為，問題只需證： >.
3. 小結：綜合法是從已知的p出發，得到一系列的結論，直到最後的結論是q.
運用綜合法可以解決不等式、數列、三角、幾何、數論等相關證明問題. 分析法由要證明的結論q思考，一步步探求得到q所需要的已知，直到所有的已知p都成立；
比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從「欲知」想「需知」(分析)，從「已知」推「可知」（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑. （框圖標意）
三、鞏固練習：
1. 求證：對於任意角θ，.
（兩人板演 → 訂正 → 小結：運用三角公式進行三角變換、思維過程）
2.的三個內角成等差數列，求證：.
3. 設a, b, c是的△abc三邊，s是三角形的面積，求證：.
略證：正弦、餘弦定理代入得：，
即證：，即：，即證：（成立）.
作業：教材
教案222直接證明與間接證明
2.2.2 反證法 授課教師 王巨集郭懿 教學要求 結合已經學過的數學例項，了解間接證明的一種基本方法 反證法 了解反證法的思考過程 特點.教學重點 會用反證法證明問題 了解反證法的思考過程.教學難點 根據問題的特點，選擇適當的證明方法.教學過程 一 複習準備 1.討論 三枚正面朝上的硬幣，每次翻轉...
直接證明與間接證明教案
高中數學教案 學習目標 1 結合已經學過的數學例項，了解直接證明的兩種基本方法 綜合法和分析法，了解間接證明的一種基本方法 反證法 2 了解綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點.教學重點 根據問題的特點，結合綜合法 分析法和反證法的思考過程 特點，選擇適當的證明方法或把不同的證明方法結合使用.難點...
直接證明與間接證明
教學過程 課堂匯入 已知，運用分析法和綜合法證明不等式成立。下面進入我們今天的學習！複習預習 1 綜合法從已知出發，以已知的定義 公理 定理為依據，逐步下推，直到推出要證明的結論為止 2 分析法從問題的結論出發，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止 3 ...