知識框架
掌握了數列的基本知識，特別是等差、等比數列的定義、通項公式、求和公式及性質，掌握了典型題型的解法和數學思想法的應用，就有可能在高考中順利地解決數列問題。
一、典型題的技巧解法
1、求通項公式
（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。
對於由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。
(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數）
例1、 已知滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。
例1、解 ∵an+1-an=2為常數 ∴是首項為1，公差為2的等差數列
∴an=1+2（n-1） 即an=2n-1
例2、已知滿足，而，求=？
（2）遞推式為an+1=an+f（n）
例3、已知中，，求.
解： 由已知可知
令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
★ 說明只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。
(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數）
例4、中，，對於n＞1（n∈n）有，求.
解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）
因此數列是公比為3的等比數列，其首項為a2-a1=（3×1+2）-1=4
∴an+1-an=4·3n-1 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3n-1 即 an=2·3n-1-1
解法二： 上法得是公比為3的等比數列，於是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，
把n-1個等式累加得an=2·3n-1-1
(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數）
由上題的解法，得： ∴
(5)遞推式為
思路：設,可以變形為：，
想於是是公比為β的等比數列，就轉化為前面的型別。
求。(6)遞推式為sn與an的關係式
關係；（2）試用n表示an。
上式兩邊同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2則是公差為2的等差數列。
∴2nan= 2+（n-1）·2=2n
數列求和的常用方法：
1、拆項分組法：即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特殊數列求和。
2、錯項相減法：適用於差比數列（如果等差，等比，那麼叫做差比數列）
即把每一項都乘以的公比，向後錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。
3、裂項相消法：即把每一項都拆成正負兩項，使其正負抵消，只餘有限幾項，可求和。
適用於數列和（其中等差）
可裂項為：，
等差數列前項和的最值問題：
1、若等差數列的首項，公差，則前項和有最大值。
（ⅰ）若已知通項，則最大；
（ⅱ）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最大；
2、若等差數列的首項，公差，則前項和有最小值
（ⅰ）若已知通項，則最小；
（ⅱ）若已知，則當取最靠近的非零自然數時最小；
數列通項的求法：
⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。
⑵已知（即）求，用作差法：。
已知求，用作商法：。
⑶已知條件中既有還有，有時先求，再求；有時也可直接求。
⑷若求用累加法：
。⑸已知求，用累乘法： 。
⑹已知遞推關係求，用構造法（構造等差、等比數列）。
特別地，（1）形如、（為常數）的遞推數列都可以用待定係數法轉化為公比為的等比數列後，再求；形如的遞推數列都可以除以得到乙個等差數列後，再求。
（2）形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。
（3）形如的遞推數列都可以用對數法求通項。
（7）（理科）數學歸納法。
（8）當遇到時，分奇數項偶數項討論，結果可能是分段形式。
數列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式。
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將「和式」中「同類項」先合併在一起，再運用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則常可考慮選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）.
（4）錯位相減法：如果數列的通項是由乙個等差數列的通項與乙個等比數列的通項相乘構成，那麼常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.
（5）裂項相消法：如果數列的通項可「**成兩項差」的形式，且相鄰項**後相關聯，那麼常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①； ②；
③，；④；⑤；
⑥二、解題方法：
求數列通項公式的常用方法：
1、公式法
2、3、求差（商）法
解：［練習］
4、疊乘法
解：5、等差型遞推公式
［練習］
6、等比型遞推公式
［練習］
7、倒數法
2．數列求和問題的方法
（1）、應用公式法
等差、等比數列可直接利用等差、等比數列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。
1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2
【例8】 求數列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n項的和。
解本題實際是求各奇數的和，在數列的前n項中，共有1+2+…+n=個奇數，
∴最後乙個奇數為：1+[n(n+1)-1]×2=n2+n-1
因此所求數列的前n項的和為
（2）、分解轉化法
對通項進行分解、組合,轉化為等差數列或等比數列求和。
【例9】求和s=1·（n2-1）+ 2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）
解 s=n2（1+2+3+…+n）-（13+23+33+…+n3）
（3）、倒序相加法
適用於給定式子中與首末兩項之和具有典型的規律的數列，採取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然後求和。
例10、求和：
例10、解
∴ sn=3n·2n-1
（4）、錯位相減法
如果乙個數列是由乙個等差數列與乙個等比數列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數列的公比，然後錯位相減求和．
例11、 求數列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項的和．
解設sn=1+3+5x2+…+(2n-1)xn-1． ①
(2)x=0時，sn=1．
(3)當x≠0且x≠1時，在式①兩邊同乘以x得 xsn=x+3x2+5x3+…+(2n-1)xn，②
①-②，得 (1-x)sn=1+2x+2x2+2x3+…+2xn-1-(2n-1)xn．
(5)裂項法：
把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然後前後相消。
常見裂項方法：
例12、求和
注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。
在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數學思想在解決數列問題時的應用。
二、常用數學思想方法
1．函式思想
運用數列中的通項公式的特點把數列問題轉化為函式問題解決。
【例13】 等差數列的首項a1＞0，前n項的和為sn，若sl=sk（l≠k）問n為何值時sn最大？
此函式以n為自變數的二次函式。∵a1＞0 sl=sk（l≠k），∴d＜0故此二次函式的影象開口向下
∵ f（l）=f（k）
2．方程思想
【例14】設等比數列前n項和為sn，若s3+s6=2s9，求數列的公比q。
分析本題考查等比數列的基礎知識及推理能力。
解 ∵依題意可知q≠1。
∵如果q=1，則s3=3a1，s6=6a1，s9=9a1。由此應推出a1=0與等比數列不符。
∵q≠1
整理得 q3（2q6-q3-1）=0 ∵q≠0
此題還可以作如下思考：
s6=s3+q3s3=（1+q3）s3。s9=s3+q3s6=s3（1+q3+q6），
∴由s3+s6=2s9可得2+q3=2（1+q3+q6），2q6+q3=0
3．換元思想
【例15】 已知a，b，c是不為1的正數，x，y，z∈r+，且
求證：a，b，c順次成等比數列。
證明依題意令ax=by=cz=k
∴x=1ogak，y=logbk，z=logck
∴b2=ac ∴a，b，c成等比數列（a，b，c均不為0）
數學5（必修）第二章：數列
[提高訓練c組]
一、選擇題
1．數列的通項公式，則該數列的前（ ）項之和等於。
a． b． c． d．
2．在等差數列中，若，則的值為（ ）
a． b． c． d．
3．在等比數列中，若，且，則為（ ）
ab． c． d．或或
4．在等差數列中，，則為（ ）
a． b． cd．
5．已知等差數列項和為
等於（ ）
a． b． c． d．
6．等差數列,的前項和分別為, ,若,則=（ ）
ab． c． d．
二、填空題
1．已知數列中，，，則數列通項
2．已知數列的，則
3．三個不同的實數成等差數列，且成等比數列，則
4．在等差數列中，公差，前項的和，則
5．若等差數列中，則
6．乙個等比數列各項均為正數，且它的任何一項都等於它的後面兩項的和，則公比為
三、解答題
1． 已知數列的前項和，求
2． 乙個有窮等比數列的首項為，項數為偶數，如果其奇數項的和為，偶數項的和為，求此數列的公比和項數。
數列解題技巧歸納總結
知識框架 掌握了數列的基本知識，特別是等差 等比數列的定義 通項公式 求和公式及性質，掌握了典型題型的解法和數學思想法的應用，就有可能在高考中順利地解決數列問題。一 典型題的技巧解法 1 求通項公式 1 觀察法。2 由遞推公式求通項。對於由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成...
數列解題技巧歸納
一 典型題的技巧解法 1 求通項公式 1 觀察法。2 由遞推公式求通項。對於由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。1 遞推式為an 1 an d及an 1 qan d，q為常數 例1 已知滿足an 1 an 2，而且a1 1。求an。例1 解 an 1...
數列解題技巧歸納總結列印
等差數列與等比數列 數列的項與前項和的關係 數列求和的常用方法 1 拆項分組法 即把每一項拆成幾項，重新組合分成幾組，轉化為特殊數列求和。2 錯項相減法 適用於差比數列 如果等差，等比，那麼叫做差比數列 即把每一項都乘以的公比，向後錯一項，再對應同次項相減，轉化為等比數列求和。3 裂項相消法 即把每...