知識盤點
一、互逆命題與互逆定理
1、 命題的概念：對一件事情的語句。
溫馨提示：
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,1)'}]、每個命題都有條件（題設）和結論兩部分；
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,2)'}]、命題的一般形式是「如果…（條件） ， 那麼…（結論 ） 」；
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,3)'}]、正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，驗證乙個命題是真命題，要經過嚴格證明，說明乙個命題是假命題，只要指出乙個反例即可。
2、 互逆命題：
在兩個命題中，如果第乙個命題的是第二個命題的 ，而第乙個命題的是第二個命題的 ，那麼這兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個命題叫做 ，那麼另乙個命題叫做它的 。
溫馨提示：
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,1)'}]、任何乙個命題都有逆命題；
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,2)'}]、把乙個命題的條件、結論交換，就得到它的逆命題；
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,3)'}]、原命題成立，逆命題不一定成立，反之亦然。
3、 互逆定理：
如果乙個定理的能被證明是真命題，那麼就叫它是原定理的逆定理，這兩個定理叫做 。
溫馨提示：
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,1)'}]、逆定理、互逆定理，一定是真命題；
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,2)'}]、不是所有的定理都有逆定理。
二、相關定理
（一）、平行線的性質與判定：（三性質和五判定）
三性質：
1、「兩直線平行，同位角相等 」 。 ∵ab//cd
2、「兩直線平行，內錯角相等」 。 ∵ab//cd
3、「兩直線平行，同旁內角互補」。 ∵ab//cd
五判定：
1、「同位角相等，兩直線平行ab//cd
2、「內錯角相等，兩直線平行ab//cd
3、「同旁內角互補，兩直線平行ab//cd
4、「平行與同一條直線的兩直線平行」。
∵a//b，b//c
5、在同一平面內，垂直與同一條直線的兩直線平行。
∵a⊥c，b⊥c， ∴a//b
溫馨提示：
（1）兩條平行線被第三條直線所截，一組同位角的角平分線平行；
（2）兩條平行線被第三條直線所截，一組內錯角的角平分線互相平行；
（3）兩條平行線被第三條直線所截，一組同旁內角的角平分線互相垂直。
（二）、三角形內角和及外角定理：
1、三角形的內角和定理：三角形的內角和等於180°．
推理過程：
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,1)'}] 作cm∥ab，則∠a= ，∠b= ，∵∠acb +∠1+∠2=1800（ ，∴∠a+∠b+∠acb=1800．
[\\mkern-13mu', 'altimg': '6a09b7c46a417221c84b05dc7720b274.png', 'w':
'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,2)'}] 作mn∥bc，則∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠bac+∠b+∠c=1800．
溫馨提示：
（1）證明的思路很多，基本思想是組成平角．
（2）應用內角和定理可解決已知二個角求第三個角或已知三角關係求三個角．
（3）特殊三角形的內角關係：直角三角形兩銳角互餘；等邊三角形每個內角都等於600
2、三角形的外角的定義
三角形叫做三角形的外角.
溫馨提示：
每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.如:∠acd、∠bce都是△abc的外角，且∠acd=∠bce.
所以說乙個三角形有六個外角，但我們每個乙個頂點處只選乙個外角，這樣三角形的外角就只有三個了.
3．三角形外角的性質
（1）、三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角之和．
（2）、三角形的乙個外角大於與它不相鄰的任何乙個內角．
（3）、三角形的三個外角和為360°。
溫馨提示：
外角與相鄰的內角互為鄰補角。
（三）、全等三角形
1．定義
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角．
2．性質
兩全等三角形的相等、 相等。
溫馨提示：
(1)全等三角形的對應中線、對應角平分線、對應高分別相等。(2) 對應的量分別相等。
3．判定
(1)判定1sas」)
(1)判定2asa」)
(3)判定3sss」)
(4)判定4aas」)
(5)判定5hl」)
溫馨提示：
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,1)'}]「hl」定理是直角三角形獨有的，對一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定方法同樣適用於直角三角形．
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,2)'}]切記：
「有兩邊和其中一邊的對角對應相等的兩個三角形不一定全等」．
（四）、等腰三角形
1、定義
2、判定：（等角對等邊）即：如果乙個三角形有兩個角那麼
3、性質：
1）、（等邊對等角）即：如果乙個三角形有兩條邊那麼
2）、（三線合一）即：等腰三角形互相重合。
(1)∵ab=ac ad⊥bc
(2)∵ab=ac bd=cd
(3)∵ab=ac∠bad=∠cad
3）、等腰三角形是對稱圖形，但不是對稱圖形。
4、特殊的等腰三角形----等邊三角形
1）、判定：
(1)三條邊的三角形是等邊三角形。
(2)有乙個角等於的等腰三角形是等邊三角形。
(3)三個角都三角形是等邊三角形
2）、性質：
（1）三條邊都 。
（2）三個角都等於 。
（3）共有組三線合一。
（4）等邊三角形是對稱圖形，但不是對稱圖形。
溫馨提示：
（1）等腰三角形和等邊三角形都是軸對稱圖形，都不是中心對稱圖形。
（2）等腰三角形的三線合一性：等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合．即只要知道其中乙個量，就可以知道其它兩個量．
（3）等腰三角形的三邊關係：設腰長為，底邊長為，則[（五）、直角三角形
1、直角三角形性質：
（1）直角三角形兩銳角 。
（2）勾股定理
（3）斜邊的中線等於斜邊的 。
（4）30°角所對的直角邊等於斜邊的 。
（5）射影定理：直角三角形斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項，每條直角邊是它在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．
即：[∠acb=90°\\\\ cd⊥ab\\end\\right\\}\\left\\cd^=adbd,\\\\ ac^=adab,\\\\ bc^=bdab．\\end\\right.', 'altimg':
'95c486ff735a16daef30c370a043edf2.png', 'w': '266', 'h':
'129'}]
溫馨提示：
1、它是計算線段長、求比例等積式或證明中的常用定理；
2、這個雙垂直圖形中還有：
兩對等角(除直角)；
②三個相似三角形即∽∽；
③由面積公式推導出來另一等積式：
2、直角三角形判定：
（1）勾股定理逆定理
（2）若兩個角的和等於 ，則這個三角形是直角三角形。
（3）三角形一邊中線等於第三邊的 ，這個三角形是直角三角形。
（4）直徑或半圓所對的是直角。
（5）圓的切線於經過切點的半徑。
（六）、線段的垂直平分線
1、線段垂直平分線性質定理：
線段垂直平分線上的點到
如圖1，已知直線m與線段ab垂直相交於點d，且ad＝bd，若點c在直線m上
溫馨提示：
（1）、定理的作用：證明兩條線段相等；
（2）、⊿abc是等腰三角形，cd三線合一；
（3）、線段ab關於它的垂直平分線軸對稱；關於中點d中心對稱.
2、線段垂直平分線性質定理的逆定理（判定定理）：
到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.
如圖1，已知直線m是線段ab垂直平分線，若則點c在直線m上.
溫馨提示：
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,1)'}]定理的作用：
證明乙個點在某線段的垂直平分線上.
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'33', 'h': '38', 'eqmath': ' \\o\\ac(○,2)'}]注意線段垂直平分線性質定理和逆定理區別和聯絡
3、關於三角形三邊垂直平分線的定理（三角形的外心 ）：
三角形三邊的垂直平分線相交於一點（外心），並且的距離相等.
如圖2，若直線分別是△abc三邊ab、bc、ca的垂直平分線，則直線相交於一點o，且oa＝ob＝oc.
溫馨提示：
結合三角形外心的性質掌握，如：外心位置、oa＝ob＝oc.幾何作圖應用等進行掌握
（七）、 角平分線
1、角平分線的性質定理：角平分線的性質定理：角平分線上的點
如圖3，已知oe是∠aob的平分線，f是oe上一點，若則
溫馨提示：
1 證明兩條線段相等（相等量：od=oc、fc=fd；∠ cof=∠dof、∠cfo=∠dfo）；
2 與用於幾何作圖問題；
3 與圓切線長定理有密切聯絡
4 角是乙個軸對稱圖形，它的對稱軸是角平分線所在的直線.
2、角平分線性質定理的逆定理（判定定理）：
在角的內部，且到角的兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上.
如圖5，已知點p在∠aob的內部，且pc⊥oa於c，pd⊥ob於d，若 ，則點p在∠aob的平分線上.
8 11幾何證明初步
知識盤點 一 互逆命題與互逆定理 1 命題的概念 對一件事情的語句。溫馨提示 每個命題都有條件 題設 和結論兩部分 命題的一般形式是 如果 條件 那麼 結論 正確的命題叫做真命題，錯誤的命題叫做假命題，驗證乙個命題是真命題，要經過嚴格證明，說明乙個命題是假命題，只要指出乙個反例即可。2 互逆命題 在...
《幾何證明初步》習題
1 如圖，已知abc，abc 45 h是高ad和高be的交點，求證 bh ac 2 如圖，ad平分abc的內角 bac，ad的垂直平分線交ad於e，交bc的延長線於f，連續af，求證 b caf 3 如圖，abc為等邊三角形，d e,f分別是 bc ca和ab邊上的點，且bd ce af，連線ad ...
幾何證明初步複習學案 一
複習目標 1.識別定義 命題 公理 定理，會區分命題的條件和結論，理解原命題和逆命題的關係。2.學會綜合法證明的格式，會使用反證法。複習過程 一 複習提綱 1 八條公理 2 命題是由和兩部分組成.命題分真命題和請你舉乙個真命題的例子 乙個假命題的例子 3 請寫出互為逆命題的兩個命題 4 幾何證明的過...