寧都縣第三中學曾華生
一、 案例名稱： 平面鑲嵌
二、 設計意圖：
（1）讓學生知道正三角形，正四邊形、正六邊形和任意三角形，任意四邊形可以平面鑲嵌。
（2）讓學生理解鑲嵌的關鍵在於「在乙個公共點處，各角的和是360度。
（3）訓練能力方面學生能用簡單的鑲嵌設計一些圖案4）問題解決方面通過學生動手遊戲，思考探索平面鑲嵌的條件，讓遊戲與理性思考相結合，培養學生的動手能力與思考能力
（5）情感態度方面：通過學生動手遊戲，讓學生體會到遊戲的樂趣，在遊戲的樂趣中學習到新的知識，讓學生實現快樂學習。
三、操作器物： 邊長相等的正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形，正八邊形，正十邊形的塑料片或硬紙片各若干，全等的任意三角形和四邊形塑料片或硬紙片各若干。
四、器物文化：平面鑲嵌在實際生活中隨處可見，是乙個具有非常豐富生活內涵與生活氣息的數學問題，體現了日常生活與數學息息相關的關係；平面鑲嵌的圖案是美麗可觀的，可以讓學生自己動手創造美，欣賞美。
五、活動內容：
（一）學情背景
1.活動人數：42
2.器具準備教材配備的教具或自製。
3. 教學問題：平面鑲嵌
（二）活動過程（真實的教學重現）
1.了解平面鑲嵌的有關概念
老師用多**展示教室地面鋪設的磁磚**，竹坑水庫大壩鋪設的水泥六角磚**與其他的用多邊形鋪設的美麗**。並告知學生，今天我們也來學習如何鋪設這些美麗的圖案。
設計意圖：通過現實生活的**與一些美麗的鑲嵌**，激發學生學習本課內容的興趣與積極性。引出平面鑲嵌的概念：
平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面或平面鑲嵌。
教學效果：通過美麗的圖案，把學生的注意力全部吸引到課程上，同時也激發了學生進一步的強烈願望，學生們都充滿自信與強烈的未知欲，急於開展新課程的學習。
2.組織遊戲：下面我們來玩乙個拼圖遊戲。
把參加遊戲的42名同學分成五組，每組的桌面分別有正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形塑料片或硬紙片若干張，另外還有形狀大小完全相同的任意三角形、任意四邊形的塑料片或硬紙片若干張，要求學生用老師所給的正多邊形材料把桌面鋪滿，要求除邊緣外，不能重疊、不留空隙，比一比，看看哪一組的同學完成的又快又好。本組的同學可以共同討論，共同思考，共同研究。
設計意圖：讓學生通過自己的動手操作，拼圖，完成正多邊形的鑲嵌，提高學生的動手能力和自主獲取知識的能力。
教學效果：極大地調動了學生的積極性，參與激情很高，很多平時數學成績偏差、動手能力不強的同學也能積極地參與，動手去拼圖，並能參與到同組同學中去討論，表現出極強的積極性與求知慾。
3，遊戲結果的展示：首先完成的正方形組的，他們鋪設了形同地面磁磚的圖案，依次完成的還有正三角形組和正六邊形組的，這些組的同學也面帶喜色，對自己能完成遊戲感到高興，而正五邊形組與正八邊形組的同學則是一面無奈，情緒有些低落。
4，對正五邊形、正八邊形不能進行平面鑲嵌進行討論，研討其原因。
老師：請正五邊形組與正八邊形組的學生向大家說明一下你們的拼圖情況。
同學1：我們用正五邊形拼圖，發現在乙個點周圍放正五邊形時，放三塊則有空隙，放四塊又放不下，有重疊，不符合老師的要求，我們的拼圖不成功。
同學2：我們用正八邊形拼圖，也出現了類似的情況，用三塊正八邊形，放不下，但用二塊的時候，中間有空隙，而且我們在拼到多塊的時候，發現八邊形中間的空隙是正方形。
老師：這兩個組的同學沒能完成拼圖，下面請另三組的同學去幫幫忙，看看你們能不能給他們帶去幫助，完成老師要求的拼圖。
另三組的同學興沖沖地去，卻帶著一臉無奈與疑惑離開。失敗依舊。
老師：正五邊形，正八邊形不能象正三角形、正方形與正六邊形那樣完成鑲嵌的，同學們請思考一下，原因在什麼地方？在鋪設的過程中，跟用正方形、正三角形、正六邊形相比，出現了什麼問題？
設計意圖:讓同學們從成功或失敗的情緒中走出來，轉向理性的思考。
思考一會後。
同學3（正六邊形組）：我發現用正五邊形拼的時候，正五邊形的角太小一點，用三塊後還留有空隙，而正六邊形用三塊恰好。
同學4（正方形組）：我也有類似的感覺，跟正方形比，我覺得正五邊形的角太大，放不下四塊，而正方形則正好能放下四塊。
5，通過對正
五、正八邊形的思考與探索，得出平面鑲嵌需要滿足的要求。
老師（指著正方形的拼圖與正六邊形的拼圖的公共點處）：在這，周圍有四個正方形，正方形每個內角是90度，共360度，成乙個周角；在正六邊形這，周圍有三個正六邊形，正六邊形每個內角是120度，共360度，成乙個周角。而五邊形的每個內角是108度，用三塊，則只有324度，不足乙個周角，而用四塊，則有432度，遠遠超過乙個周角。
從而說明，能否用正多邊形進行平面鑲嵌，關鍵取決於什麼呢？
設計意圖：引導學生向正確的思考方向去思考.
同學5：我知道了。關鍵取決於：在乙個公共點的地方，各角的和是不是360度，是360度，可以進行平面鑲嵌，不是360度，不能進行平面鑲嵌。
同學6：我還發現一點：用正多邊形進行平面鑲嵌，要求360是這個多邊形內角度數的倍數。
而360是正三角形內角度數60的6倍，是正方形內角度數90的4倍，是正六邊形內角度數120的3倍，跟我們的拼圖中在乙個公共點，正三角形有6塊，正方形有4塊，正六邊形有3塊也是相同的。而360不是其他正多邊形內角的位數，其他正多邊形不能進行平面鑲嵌。
老師：說得真是太好了！為這兩位同學的精闢見解鼓掌！（掌聲）
老師板書：1），用多邊形進行平面鑲嵌關鍵是：在乙個公共點的地方，各角的必須為360度。
2），用一種正多邊形進行平面鑲嵌，只能用正三角形、正方形和正六邊形。
設計意圖：及時歸納學生的見解，對學生的見解予以讚揚，促進學生學習的積極性，有利於培養學生學習數學的興趣；及時歸納結論，也有利於學生更好地掌握所學知識。
6，利用平面鑲嵌要滿足的條件，簡單探尋二種正多邊形平面鑲嵌的組合。
老師：經上面的討論，用單個的正五邊形與正八邊形是不能進行平面鑲嵌的。為彌補這個遺憾，下面把條件放寬，同學能否再選一種正多邊形，使它能與正五邊形、正八邊形一塊完成平面鑲嵌？
若能，分別應該選擇正幾邊形？並解釋其原因。
設計意圖：一方面是讓學生靈活地運用上面歸納出來的結論，激發學生進一步思考；另一方面是引申出用兩種正多邊形的進行平面鑲嵌。
學生7（正八邊形組）：只要再給我正方形就可以完成，正方形可以填補中間留下的空隙。（師：
介紹一下這樣的理由）正八邊形的內角是135度，正方形的內角是90度，兩個正八邊形的內角和乙個正方形的內角恰好是360度。
正五邊形組的學生經一翻討論與爭議。
學生8（正五邊形組）：我們經過討論與計算，發現在乙個公共點處，如果放三個正五邊組，則無論再選什麼正多邊形，角度都太大了；而只放兩個正五邊形，則剩餘的角是360-108×2=144度。而內角度數為144度的正多邊形是正十邊形。
所以我們可以用正五邊形與正十邊形組合進行平面鑲嵌。
老師：這兩位同學說得真好！這樣我們就得出了用兩種正多邊形進行平面鑲嵌的兩種組合：
正方形與正八邊形，正五邊形與正十邊形。那麼請同學們進一步思考：用二種正多邊形進行平面鑲嵌，還有其他的組合嗎？
同學9：可以用二個正六邊形和二個正三角形，它們的內角和是120×2+60×2=360.也可以用兩個正方形與三個正三角形，它們的內角和是90×2+60×3=360.
7，利用平面鑲嵌要滿足的條件，通過遊戲探索用一般三角形、四邊形進行平面鑲嵌的方法。
老師：上面我們討論了用正多邊形進行平面鑲嵌的幾種情況，下面同學們利用所學，思考並實驗一下，用形狀相同，大小相同的一般三角形、四邊形能否進行平面鑲嵌，如果能，圖形又應該怎樣拼圖？
同學10：用任意三角形可以，還具有不同的方法。（他展示了如圖所示的圖案，這是他所組的兩種不同拼法）
同學11：用四邊形也可以。我拼的圖案是這樣的：如圖3，4
老師：用三角形是很簡單的，用四邊形有一定的難處，要點就注意把四個不同的角放同一公共點處，相等的邊互相重合。
8，小結
老師與學生一起回顧本節課所學的主要內容，並請學生回答以下問題：
（1）本節課學了哪些主要內容？
（2）進行平面鑲嵌的關鍵是什麼？
（3）用單一的正多邊形，有哪幾種能進行平面鑲嵌？
（4）用兩種正多邊形鑲嵌，你能舉出哪些組合？
（5）用任意的三角形、四邊形能否進行鑲嵌？
設計意圖：引導學生從拼圖遊戲與理性思考兩個角度來總結自己的收穫，通過建立知識間的聯絡，來顯現生活中數學與數學的生活性，數學**於生活，又反過來指導解決生活中的實際問題。
9，練習：用平面鑲嵌的知識設計乙個簡單的圖案。要求用到正三角形、正方形、正六邊形中的一種或幾種。
設計意圖：複習鞏固所學內容，調動學生的積極性，開拓學生的創新思維。
6、活動的啟示
本節課將遊戲帶到了初中的數學課堂，讓學生在做拼圖遊戲的同時學習到了數學知識，一邊玩一邊學，動手操作與動腦思考相結合，體現了在「學中玩」與「玩中學」的教育理念，取得了很好的教學效果，學生對平面鑲嵌要滿足的條件——各角的和應為360度，有充分的認識，深刻的理解，同時還培養了學生的動手能力，提公升了學生學習數學的興趣，不再把數學當作是枯燥的、無味的，從中體會到了學生數學的樂趣，同時也明白，數學是與現實生活息息相關的，對現實生活有很強的指導意義，生活離不開數學。這些對學生今後數學學習帶了極大的促進作用。這也要求老師要適當改變過去傳統的課程教學模式，根據具體的教學內容，選擇生動活潑的課堂教學，以靈活多變的授課方式帶給學生乙個愉悅的、有趣的、能最大程度吸引學生注意力的高效課堂。
另外，這一節課也有幾個方面是需要改進的。作為遊戲用的圖形模板，因為是自己動手製作，工藝很粗糙，也不美觀，影響了拼圖以後的效果，給學生美的感受方面有待進一步的提高；另外，正多邊形的模板型別數量少了一點。在遊戲中，只製作了正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形，還可以考慮製作正十邊形、正十二邊形等正多邊形的模板，以有利於討論更多的正多邊形鑲嵌組合。
另外對於四邊形的平面鑲嵌問題處理過於倉促，讓學生們沒能更好地展示他們的作品，而其中有很多作品是很有創意的，遺失了部分珠璣。這些都是需要在今天教學中予以彌補，也值得引起老師給與思考的。
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