[例5－6—1] 圖5—6—2所示懸臂梁，承載如圖。試列出剪力方程、彎矩方程並作v、m圖。
[解] 因梁上荷載不連續故需分段列方程。
用任意截面nn截開梁，取左部為脫離體，如圖(b)所示。由∑y=0，
同理用任意截面kk截開梁，取左部為脫離體如圖(c)所示。由∑y=0，
根據剪力方程、彎矩方程作圖。對於線性方程只需算出各段的端值然後連直線即可。
v、m圖如圖(d)、(e)所示。
[例5—6—2] 寫出圖示梁的剪力方程和彎矩方程，井作剪力圖和彎矩圖。
[解] 1．求支座反力
故所求的支座反力正確。
2．分段建立剪力方程和彎矩方程
3．作剪力圖和彎矩圖
根據ac段，cb段剪力方程繪製剪力圖
ac段 v為常量，故y圖為水平線。
cb段 v為一次函式，因而y圖為斜直線：只需確定兩個截面v值。
根據ac段，cb段彎矩方程繪製彎矩圖
ac段 m為一次函式，因而m圖為一斜直線，只需確定兩個截面m值。
cb段 m為二次拋物線，只少要確定三個截面m值，然後用光滑曲線連起來。
拋物線頂點在 v=2qa-qx=0處
x=2a
[例5－6－3] 根據彎矩、剪力和荷載集度間的關係作圖5－6－6所示梁的剪力圖和彎矩圖。
[解] 首先求支座反力(懸臂梁可以不求)
rb=4kn(↑) mb=4knm(順時針)
根據q、v、m關係作v、m圖通常步驟為
1．分段根據梁上荷載不連續點(集中力，集中力偶作用處，分布荷載起訖點)為界點。
2．定形根據各段荷載情況，定出v、m圖形狀。
3．定控制截面v、m值
用截面法
或用積分關係式
本例題的分段和定v、m形狀情況見下表。
有關控制截面值確定如下：
v圖 ac段定兩個控制截面值
cb段定乙個控制截面值
vc=已求出
m圖 ac段只少定三個控制截面值
因為a截面處v=0，m有極值，即為拋物線頂點。
cb段只要定二個控制截面值
因c截面作用有集中力偶，故m圖有突變
梁的橫截面上只有彎矩而無剪力時的彎曲，稱為純彎曲。
中性層桿件彎曲變形時既不伸長也不縮短的一層。
中性軸中性層與橫截面的交線，即橫截面上正應力為零的各點的連線。
中性軸位置當桿件發生平面彎曲，且處於線彈性範圍時，中性軸通過橫截面形心，且垂直於荷載作用平面。
中性層的曲率桿件發生平面彎曲時，中性層(或杆軸)的曲率與彎矩間的關係為
式中 ρ為變形後中性層(或杆軸)的曲率半徑；ei2為杆的抗彎剛度，軸z為橫截面的中性軸。
分布規律正應力的大小與該點至中性軸的垂直距離成正比，中性軸一側為拉應力， 另一側為壓應力，如圖5—7—1(a)。
計算公式
任一點應力
最大應力
式中 m為所求截面的彎矩，iz為截面對中性軸的慣性矩，wz為抗彎截面係數。 wz是乙個只與橫截面的形狀及尺寸有關的幾何量。對於矩形截面：
對於圓形截面：
其餘wz按式wz＝iz/ymax計算。
討論：1，公式適用於線彈性範圍、且材料在拉伸和壓縮時彈性模量相等情況。
2．在純彎曲時，橫截面在彎曲變形後保持平面；橫力彎曲時，由於剪應力的存在，橫截面發生翹曲，但精確研究指出，工程實際中的梁，只要跨度與截面高度之比l／h>5，純彎曲時的正應力公式仍適用。
強度條件梁的最大工作正應力不得超過材料的許用正應力，即
注意，當梁內σtmax≠σcmax，且材料的[σt]≠[σc]時，梁的拉伸與壓縮強度均應得到滿足。
兩個假設：1．剪應力方向與截面的側邊平行。2．沿截面寬度剪應力均勻分布(見圖5—7—2)。
計算公式
式中 v為橫截面上的剪力，b為橫截面的寬度，iz為整個橫截面對中性軸的慣性矩，sz*為橫截面上距中性軸為y處橫線一側的部分截面對中性軸的靜矩。
最大剪應力發生在中性軸處
工字型截面
式中 d為腹板厚度，
工字型鋼中，iz/可查型鋼表。
圓形截面
環形截面
最大剪應力均發生在中性軸上。
梁的最大工作剪應力不得超過材料的許用剪應力，即
式中 vmax為全梁的最大剪力；為中性軸一邊的橫截面面積對中性軸的靜矩；b為橫截面在中性軸處的寬度；iz為整個橫截面對中性軸的慣矩。
三、梁的合理截面
梁的強度通常是由橫截面上的正應力控制的。由彎曲正應力強度條件，可知，在截面積a一定的條件下，截面圖形的抗彎截面係數愈大，梁的承載能力就愈大，故截面就愈合理。因此就wz／a而言，對工字形、矩形和圓形三種形狀的截面，工字形最為合理，矩形次之，圓形最差。
此外對於[σt]=[σc]的塑性材料，一般採用對稱於中性軸的截面，使截面上、下邊緣的最大拉應力和最大壓應力同時達到許用應力。對於[σt]≠[σc]的脆性材料，一般採用不對稱於中性軸的截面如t形、門形等，使最大拉
應力σtmax和最大壓應力σcmax一同時達到[σt] 和[σc]，如圖5—7—3所示。
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