受力特徵杆兩端受到一對力偶矩相等，轉向相反，作用平面與桿件軸線相垂直的外力偶作用。
變形特徵桿件表面縱向線變成螺旋線，即桿件任意兩橫截面繞桿件軸線發生相對轉動。
扭轉角φ 桿件任意兩橫截面間相對轉動的角度。
軸所傳遞的功率、轉速與外力偶矩間有如下關係：
式中傳遞功率n的單位：kw為千瓦，ps為公制馬力(1ps=735．5nm／s)；轉速n的單位為rpm(轉每分鐘)。
扭矩受扭杆件橫截面上的內力，是乙個在截面平面內的力偶，其力偶矩稱為扭矩。用mt表示，見圖5—4—2，其值用截面法求得。
扭矩符號扭矩mt的正負號規定，以右手法則表示扭矩向量，若向量的指向與截面外向法線的指向一致時扭矩為正，反之為負。
扭矩圖表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規律的圖線。
1．剪應力分布規律橫截面上任一點的剪應力，其方向垂直於該點所在的半徑，其值與該點到圓心的距離成正比，見圖5-4-3。
2．剪應力計算公式橫截面上距圓心為ρ的任一點的剪應力為
橫截面上的最大剪應力發生在橫截面周邊各點處，其值為
3．剪應力公式的討淪
(1)公式適用於線彈性範圍(τmax≤τp)，小變形條件下的等截面實心或空心圓直杆。
(2)mt為所求截面上的扭矩。
(3)ip稱為極慣性矩，wt稱為抗扭截面係數，其值與截面尺寸有關，分別為
實心圓截面(圖5—4—4)
空心圓截面(圖5—4—4)
其中α=d/d
強度條件圓杆扭轉時橫截面上的最大剪應力不得超過材料的許用剪應力，即
由強度條件可對受扭杆進行強度校核、截面設計和確定許可荷載三類問題計算。
單位長度扭轉角
扭轉角若長度l內，mt、g、ip均為常量時
公式適用於線彈性範圍，小變形下的等直圓杆。gip表示圓杆抵抗扭轉彈性變形的能力，稱為抗扭剛度。
剛度條件圓杆扭轉時的最大單位長度扭轉角不得超過規定的許可值，即
由剛度條件，同樣可對受扭圓杆進行剛度校核、截面設計和確定許可荷載三類問題的計算。
[例5—4—1] 一傳動軸如圖5－4—5所示。已知軸的直徑d=45mm，轉速n=300rpm，主動輪輸入的功率na=36．7kw，從動輪b、c、d輸出的功率分別為nb=14．7kw、nc=nd=llkw；軸的材料為45號鋼，g=8×104mpa，[τ]=40mpa，
[θ]=20／m。試校核軸的強度和剛度。
[解] 1．計算外力偶矩
2．畫扭矩圖確定危險截面
用截面1—1、2－2、3－3分別將杆截開，取各脫離體如(b)圖示，由平衡條件∑mx=0，分別得
扭矩圖如圖(e)所示。由圖可見在ac段內的扭矩最大，mt=702nm，因為軸是等截面的，故a右—c左間任一橫截面均為危險截面。
3.強度校核
滿足強度條件。
4．剛度校核
滿足剛度條件。
[例5-4-2] 一直徑為d的圓截面杆承受外力偶矩t後，測得該杆表面與縱線成45度方向的線應變為ε，如圖5－4－6a所示。試求其材料的剪變模量g。
[解] 圓杆表面a點處的剪應力為
圓杆扭轉時處於純剪應力狀態如圖5－4－6b所示。由於剪應變γ單元體原來的對角線，ac，在變形後成為ac』，對角線的伸長量為c』c』』，對角線ac的線應變為
根據剪下虎克定律
τ=gγ
得設任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—1)，則圖形
對z、y軸的靜矩
形心c的座標
1．靜矩是對一定的軸而言的，同一圖形對不同座標軸的靜矩不同。靜矩可能為正、 為負或為零。
2．靜矩的量綱為[長度]3，單位為m3。
3．圖形對任一形心軸的靜矩為零；反之，若圖形對某一軸的靜矩為零，則該軸必通過圖形的形心。
4．若截面圖形有對稱軸，則圖形對於對稱軸的靜矩必為零，圖形的形心一定在此對稱軸上。
5．組合圖形對某一軸的靜矩，等於各組分圖形對同一軸靜矩的代數和(圖5—5—2)，即
沒任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—3)，則圖形對y、z軸的慣性矩
對o點的極慣性矩
對y、z軸的慣性積
1．圖形的極慣性矩是對某一極點定義的，軸慣性矩是對某—座標軸定義的，慣性積是對某一對座標軸定義的。
2．極慣性矩、軸慣性矩、慣性積的量綱為k度四次方，單位為m4。
3．極慣性矩、軸慣性矩其數值均為正；慣性積的數值可正可負，也可能為零，若一對座標軸中有一軸為圖形的對稱軸，則圖形對這一對座標軸的慣性積必等於零；但圖形對某—對座標軸的慣性積為零，則這對座標軸中不一定有圖形的對稱軸。
4．極慣性矩的值恆等於以該點為原點的任一對座標軸的軸慣性矩之和，即
5．組合圖形對某一點的極慣性矩或對某一軸的軸慣性矩，分別等於各組分圖形對同一點的極慣性矩或對同一軸的軸慣性矩之和，即
組合圖形對某一對座標軸的慣性積，等於各組分圖形對同—對座標軸的慣性積之和，即
任意形狀截面圖形的面積為a，則圖形對y軸和z軸的慣性半徑分別為
1．慣性半徑是對某一座標軸定義的。
2．慣性半徑的量綱為長度一次方，單位為m。
3．慣性半徑的數值恆取正值。
設任意形狀截面圖形的面積為a(圖5—5—4)，形心為c，圖形對形心軸yc、zc的軸慣性矩分別為,慣性積為，則圖形對平行於形心軸的座標軸y、z的慣性矩和慣性積分別為
運用上述公式時應注意：
1．利用平行移軸公式計算必須從形心軸出發；a、b是形心c在新座標系y、z中的座標，所以是有正負的。
2．在所有相互平行的座標軸中，圖形對形心軸的慣性矩為最小；但圖形對形心軸的慣性積不一定是最小。
主慣性軸截面圖形對於某一對正交座標軸的慣性積為零，則這對軸稱為主慣性軸，簡稱主軸。即iyz=0時，y、z軸即為主軸。
主軸的方位
主慣矩截面圖形對主軸的慣性矩，稱為主慣矩。它是圖形對過同一點的所有座標軸的慣性矩中的最大值和最小值，其值為
且形心主軸通過圖形形心的一對主軸。
形心主慣性矩截面圖形對形心主軸的慣性矩。
可以證明：
1．若圖形有一根對稱軸，則此軸即為形心主軸之一，另一形心主軸為通過圖形形心並與對稱軸垂直的軸。
2．若圖形有二根對稱軸，則此二軸即為形心主軸。
3．若圖形有三根以上對稱軸時，則通過形心的任一軸均為形心主軸，且主慣矩相等。
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