§3.1微分方程的一般理論
微分方程是研究函式變化規律的有力工具, 有著廣泛的實際應用. 針對所研究的物件建立微分方程模型是解決問題的第一步, 實際中只有求出微分方程的解才能對所研究的問題進行解釋說明. 一般說來, 求微分方程的解析解是困難的, 大多數的微分方程需要用數值方法來求解, 因此首先需要研究微分方程的解的存在惟一性和穩定性問題.
3.1.1 微分方程的一般形式
一階微分方程
3.1）
其中是和的已知函式,為初始條件, 又稱定解條件.
一階微分方程組
3.2）
又稱為一階正規方程組. 如果引入向量
則方程組（3.2）可以寫為簡單的形式
3.3）
即與方程（3.1）的形式相同, 當時為方程（3.1）.
對於任一高階的微分方程
如果記, 則方程為, 即可化為一階方程組的形式. 因此, 下面主要對正規方程組（3.3）進行討論.
3.1.2 微分方程解的存在惟一性
正規方程組（3.3）的解在什麼條件下存在, 且惟一呢？有下面的定理.
定理3.1（cauchy-peano）如果函式在上連續, 則方程組（3.3）在上有解滿足初值條件, 此處.
定理3.2 如果函式在上連續, 且滿足利普希茨（lipschitz）條件（即存在正常數使得, 其中）, 則方程組（3.3）滿足初值條件的解是惟一的.
定理證明略.
3.1.3 微分方程的穩定性問題
在實際問題中, 微分方程所描述的是物質系統的運動規律, 在用微分方程來研究這個物理過程中, 人們只能考慮影響該過程的主要因素, 而不得不忽略一些認為次要的因素, 這種次要的因素通常稱為干擾因素. 這些干擾因素在實際中可以瞬時起作用, 也可持續起作用. 從數學上看, 前者會引起初值條件的變化, 而後者則會引起微分方程本身的變化.
在實際問題中, 干擾因素是客觀存在的, 由此可見, 對於它的影響程度的研究是必要的, 即初值條件或微分方程的微小變化是否也只引起對應解的微小變化？這就是微分方程的穩定性問題. 這裡仍以方程組（3.
3）為例討論.
1. 有限區間的穩定性
如果在某個有限的區域內連續, 且對滿足利普希茨條件,是方程組（3.3）的乙個特解, 則當充分接近於時, 方程組（3.3）在上滿足初值條件的解有
, 即對任意給定的, 總存在相應的, 當時, 對一切有
, 此時稱方程組（3.3）的解在有限區間上是穩定的.
2. 無限區間的穩定性
如果是方程組（3.3）的乙個特解,是方程組（3.3）滿足初值條件的解. 對任意給定的, 總存在相應的, 當時, 對一切有
, 則稱方程組（3.3）的解在無限區間上是穩定的.
3. 漸近穩定性
如果方程組（3.3）解在無限區間上是穩定的, 且存在, 當時, 有
, 則稱是漸近穩定的, 或稱為區域性漸近穩定的.
4. 經常擾動下的穩定性
對於方程組（3.3）, 考慮相應的方程組
3.4）
這裡的稱為擾動函式.
如果對任意給定的, 總存在和, 使當時有
, 則方程組（3.4）有滿足初值條件的解, 且當時有
就說方程組（3.3）的特解在經常擾動下是穩定的.
5. 研究穩定性的方法
實際中, 要研究方程組（3.3）的解的穩定性問題, 可以轉化為研究方程的零解（平凡解）的穩定性問題. 事實上:
對於方程（3.3）的任一特解, 只要令, 則
顯然有, 故方程組（3.3）變為
3.5）
於是可知方程組（3.3）的解對應於方程組（3.5）為（平凡解）. 因此, 要研究方程組（3.3）的穩定性問題可轉化為研究方程組（3.5）的平凡解的穩定性問題.
如果微分方程組的所有解都能簡單地求出來, 乙個特解的穩定性問題並不難解決. 然而, 實際中這種情況太少了. 因此, 一般性的穩定性問題的研究是複雜的, 通常的情況下都是針對具體問題做相應的研究.
§3.2微分方程的平衡點及穩定性
3.2.1 微分方程的平衡點
設有微分方程組（3.3）, 對於, ,在某個區域內連續, 且滿足解的存在惟一性條件. 如果存在某個常數, 使得, 則稱點為方程組（3.
3）的平衡點（或奇點）, 且稱為方程組的平凡解（或奇解）.
如果對所有可能初值條件, 方程組（3.3）的解都滿足
, 則稱平衡點是穩定的（漸近穩定）；否則是不穩定的.
實際中, 判斷平衡點的穩定性有兩種方法: 間接方法和直接方法[3].
間接方法: 首先求出方程的解, 然後利用定義來判斷.
直接方法: 不用求方程的解直接來研究其穩定性.
3.2.2 一階方程的平衡點及穩定性
設有微分方程, 其相應的平衡點為代數方程的實根
. 其穩定性可以用間接方法判斷, 下面說明直接方法.
首先, 將函式在點作一階泰勒（taylor）展開, 即方程可以近似地表示為
顯然,也是該方程的乙個平衡點, 其穩定性主要取決於的符號, 即下面結論:
若, 則平衡點是穩定的；若, 則平衡點是不穩定的.
3.2.3 平面方程的平衡點及穩定性
設平面方程組的一般形式為
3.6）
則稱代數方程組
的實根,為平面方程組（3.6）的平衡點, 記為. 如果對所有可能的初值條件方程的解為,滿足
, 則稱平衡點是穩定的；否則是不穩定的. 也可以用直接方法討論.
將方程組（3.6）的右邊的函式作一泰勒展開, 即可表示為近似的線性方程組
3.7）
記係數矩陣為, 且假設其行列式, 則方程組（3.7）的特徵方程為
, 即其中, ,為特徵根. 不妨設特徵根分別為, , 即
, 根據特徵根,和係數,的取值情況可以確定平衡點的穩定性.
事實上, 當,時平衡點是穩定的；當或時平衡點是不穩定的.
對於一般微分方程的平衡點和穩定性問題可以類似的討論.
§3.3 戰爭的**與評估問題
3.3.1 問題的提出
目前, 在超級大國的全球戰略的影響下, 世界並不太平, 國與國之間和地區之間的種族歧視、****、利益衝突、歷史遺留問題等原因造成的區域性戰爭和地區性武裝衝突時有發生, 有的長期處於敵對狀態, 從而導致了地區性的緊張局勢和潛在的戰爭威脅. 在這種情況下, 必然會導致敵對雙方的軍備競賽, 在一定的條件下就會爆發戰爭. 隨著高科技的發展, 尤其是資訊科技的發展, 軍事裝備現已成為決定戰爭勝負重要因素.
在這裡我們所說的軍事裝備是指軍事實力的總和, 主要包括**裝備、電子資訊裝備、軍事兵力、軍事費用等.
現代條件下的戰爭, 一般都是多兵種的協同作戰, 所謂的多兵種就是綜合使用陸、海、空、飛彈、空降等兵力和相應的**裝備去完成不同的戰爭任務. 由於每一兵種和相應的**裝備都要各自的優勢和相應的適合攻擊的目標. 因此, 現代戰爭的結局在很大程度上取決於是否能夠廣泛合理的利用諸兵種的合成部隊協同作戰, 在戰爭中爭取保持一定優勢, 尤其是在「制空權」和「制海權」的優勢, 這是現代戰爭的一大特點.
另一方面, 現代戰爭往往是根據不同兵種的特點, 可以在不同的區域參加戰鬥, 即一場戰爭可以在不同幾個區域同時開展, 都對戰爭的結果產生一定的影響.
現在要求建立數學模型討論一下的問題:
（1）分析研究引起軍備競賽的因素, 並就諸多因素之間的相互關係進行討論；
（2）在多兵種的作戰條件下, 對作戰雙方的戰勢進行評估分析.
3.3.2 模型的假設
（1）敵對雙方為甲方和乙方，時刻的軍備綜合實力分別為和；
（2）雙方的軍備綜合實力是隨著時間連續平穩變化的，即和是時間的連續可微函式；
（3）不考慮第三方的軍備實力對甲乙雙方的影響。
3.3.3 模型的建立與求解
問題（1）：
根據實際情況，一般認為促使和制約敵對雙方的軍備競賽的因素主要有雙方各自的固有增長因素、雙方敵對的程度和現有的軍備實力等因素。
首先，由於各自的歷史地位、地理環境和領土爭端等原因，雙方都有乙個固有的增加軍備的需求，即各自的固有軍備增長率，分別記為常數和。
其次，雙方的軍備增長與雙方的敵對程度有關，即隨著敵對情緒的增長而增加。如果一方的軍備增加了，則另一方也必然要增加自己的軍備，以致於要趕上或超過對方。即甲方的軍備實力的增長與乙方的軍備實力成正比，反之亦然。
其比例係數分別記為和，即表示受對方現有軍備實力的刺激程度的度量。
再次，各方軍備的增長與現有軍備實力有關，由於經濟實力的制約作用，軍備實力越大，受經濟制約的程度就越大，即軍備增長率減少的程度與現有的軍備實力成正比，其比例係數分別為和，即表示雙方受各自經濟制約程度的度量。
於是，可以得到甲乙雙方的軍備實力的增長率變化情況，即軍備競賽的數學模型為
3.8）
為了要研究軍備競賽的結局，我們來求（3.8）式的平衡點，即令
可以解得平衡點為
，根據平衡點的穩定性理論可知：當時，平衡點是穩定的，否則是不穩定的。這就意味著在足夠長的時間以後，雙方的軍備實力會分別達到乙個穩定的極限值。
當時，方程（3.8）的平衡點穩定，即說明當雙方制約發展軍備的程度大於刺激對方發展軍備的程度時，軍備競賽的最終結果是可以達到平衡的。相反的，當時，方程組（3.
8）的平衡點不穩定，即說明當雙方制約發展軍備的程度小於刺激對方發展軍備的程度時，雙方的軍備競賽會一直無限的進行下去，最終會導致戰爭。
當且時，方程（3.8）的平衡點是穩定的，即說明甲乙雙方沒有利害衝突和爭端，在和平共處的情況下，都沒有發展軍備的慾望。
當，且時，即表明雙方軍備競賽的存在性，即便是因為某種外界因素的影響，迫使雙方在某個時候有和（被迫裁軍），但由於和，則雙方的軍備競賽客觀存在，最終雙方的軍備實力會強大起來。此時平衡點是穩定的，所以最終還是會達到平衡。
第三章計畫
t 4 c類工作特徵是不迫切，後果影響小。f 5 既然時間客觀存在，時間就可以儲存。四 填空題 1 按計畫的約束程度劃分，計畫可分為 2 目標管理分為制定目標體系和三個階段。3 時間的特徵包括客觀性 和 4 計畫工作的核心問題是 5是管理職能中最基本的職能。五 名詞解釋題 1 計畫 2 目標管理 六...
禮儀第三章
第三章 儀容 儀表 儀態禮儀 3.1儀容 儀表 3.2儀態 3.3著裝與服飾 3.4美容與化妝 3.1儀容 儀表 3.1.1儀容 儀表的概念 3.1.2注意儀容 儀表的意義 3.1.3儀容 儀表的基本要求 3.1.1儀容 儀表的概念 儀容的概念 儀容是指個人的容貌，它是由髮式 面容以及所有未被服飾遮...
第三章注意
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